若函数f（x）满足：在定义域内存在实数x0，使f（x0+k）=f（x0）+f（k）（k为常数），则称“f（x）关于k可线性分解”．（1）函数f（x）=2x+x2

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若函数f（x）满足：在定义域内存在实数x₀，使f（x₀+k）=f（x₀）+f（k）（k为常数），则称“f（x）关于k可线性分解”．
（1）函数f（x）=2^x+x²是否关于1可线性分解？请说明理由；
（2）已知函数g（x）=lnx-ax+1（a＞0）关于a可线性分解，求a的范围；
（3）在（2）的条件下，当a取最小整数时；
（i）求g（x）的单调区间；
（ii）证明不等式：（n!）²≤e^n（n-1）（n∈N^*）．

答案

（1）函数f（x）=2^x+x²是关于1可线性分解，理由如下：
令h（x）=f（x+1）-f（x）-f（1）=2^x+1+（x+1）²-2^x-x²-2-1=2（2^x-1+x-1）
∴h（0）=-1＜0，h（1）=2
∴h（x）在（0，1）上至少有一个零点
即存在x₀∈（0，1），使f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）；
（2）由已知，存在实数x₀，使g（x₀+a）=g（x₀）+g（a）（a为常数），
即ln（x₀+a）-a（x₀+a）+1=lnx₀-ax₀+1+lnx-a²+1
∴ln

x0+a

ax0

=1
∴

x0+a

ax0

=e
∴x₀=

ae-1

＞0
∵a＞0，∴a＞

；
（3）（i）由（2）知，a=1，g（x）=lnx-x+1，g′(x)=

1-x2

（x＞0）
∴x∈（0，1）时，g′（x）＞0，∴g（x）的增区间是（0，1）；x∈（1，+∞）时，g′（x）＜0，∴g（x）的减区间是（1，+∞）；
（ii）证明：由（i）知x∈（0，+∞），g（x）≤g（1），即lnx-x+1≤0，∴lnx≤x-1
∴ln1=0，ln2＜1，ln3＜2，…，lnn＜n-1
相加得：ln1+ln2+…+lnn≤1+2…+（n-1）
即lnn!≤

n(n-1)

∴（n!）²≤e^n（n-1）（当且仅当n=1时取“=”号）．

举一反三

设函数fn(x)=-xn+3ax+b（n∈N^*，a，b∈R）．
（1）若a=b=1，求f₃（x）在[0，2]上的最大值和最小值；
（2）若对任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有|f₃（x₁）-f₃（x₂）|≤1，求a的取值范围；
（3）若|f₄（x）|在[-1，1]上的最大值为

，求a，b的值．

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已知f（x）=ax-1nx，x∈（0，e]，g（x）=

1nx

，其中e是自然常数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+

；
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

题型：甘肃三模难度：| 查看答案

设函数f(x)=ex-

x2-x．
（1）若k=0，求f（x）的最小值；
（2）若当x≥0时f（x）≥1，求实数k的取值范围．

题型：不详难度：| 查看答案

设函数f(x)=

1-a

x2+ax-lnx(a∈R)．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）当a＞1时，讨论函数f（x）的单调性．
（Ⅲ）若对任意a∈（3，4）及任意x₁，x₂∈[1，2]，恒有

(a2-1)

m+ln2＞|f(x1)-f(x2)|成立，求实数m的取值范围．

题型：吉林二模难度：| 查看答案

已知函数f（x）=e^2x-2tx，g(x)=-x2+2tex-2t2+

．
（1）求f（x）在区间[0，+∞）的最小值；
（2）求证：若t=1，则不等式g（x）≥

对于任意的x∈[0，+∞）恒成立；
（3）求证：若t∈R，则不等式f（x）≥g（x）对于任意的x∈R恒成立．

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