设函数f(x)=ex-k2x2-x.(1)若k=0,求f(x)的最小值;(2)若当x≥0时f(x)≥1,求实数k的取值范围.

设函数f(x)=ex-k2x2-x.(1)若k=0,求f(x)的最小值;(2)若当x≥0时f(x)≥1,求实数k的取值范围.

题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=ex-
k
2
x2-x

(1)若k=0,求f(x)的最小值;
(2)若当x≥0时f(x)≥1,求实数k的取值范围.
答案
(1)k=0时,f(x)=ex-x,
f"(x)=ex-1.
当x∈(-∞,0)时,f"(x)<0;当x∈(0,+∞)时,f"(x)>0.
所以f(x)在(-∞,0)上单调减小,在(0,+∞)上单调增加
故f(x)的最小值为f(0)=1
(2)f"(x)=ex-kx-1,
f""(x)=ex-k
当k≤1时,f""(x)≥0(x≥0),
所以f"(x)在[0,+∞)上递增,
而f"(0)=0,
所以f"(x)≥0(x≥0),
所以f(x)在[0,+∞)上递增,
而f(0)=1,
于是当x≥0时,f(x)≥1.
当k>1时,
由f""(x)=0得x=lnk
当x∈(0,lnk)时,f""(x)<0,所以f"(x)在(0,lnk)上递减,
而f"(0)=0,于是当x∈(0,lnk)时,f"(x)<0,所以f(x)在(0,lnk)上递减,
而f(0)=1,所以当x∈(0,lnk)时,f(x)<1.
综上得k的取值范围为(-∞,1].
举一反三
设函数f(x)=
1-a
2
x2+ax-lnx(a∈R)

(Ⅰ) 当a=1时,求函数f(x)的极值;
(Ⅱ)当a>1时,讨论函数f(x)的单调性.
(Ⅲ)若对任意a∈(3,4)及任意x1,x2∈[1,2],恒有
(a2-1)
2
m+ln2>|f(x1)-f(x2)|
成立,求实数m的取值范围.
题型:吉林二模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=e2x-2tx,g(x)=-x2+2tex-2t2+
1
2

(1)求f(x)在区间[0,+∞)的最小值;
(2)求证:若t=1,则不等式g(x)≥
1
2
对于任意的x∈[0,+∞)恒成立;
(3)求证:若t∈R,则不等式f(x)≥g(x)对于任意的x∈R恒成立.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=a•ex+
a+1
x
-2(a+1)(a>0)

(Ⅰ)当a=1时,求f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若对于任意的x∈(0,+∞),恒有f(x)≥0成立,求a的取值范围.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=-x3+3x2+m(x∈[-2,2]),f(x)的最小值为1,则f(x)的最大值为(  )
A.5B.22C.21D.2
题型:不详难度:| 查看答案
设函数y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数k,定义函数fk(x)=





f(x),f(x)≤k
k,f(x)>k
.设函数f(x)=2+x-ex,若对任意的x∈(-∞,+∞)恒有fk(x)=f(x),则(  )
A.k的最大值为2B.k的最小值为2
C.k的最大值为1D.k的最小值为1
题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.