(Ⅰ)函数的定义域为(0,+∞) 当a=1时,f(x)=x-lnx,则f′(x)= 令f′(x)>0,可得x<0或x>1,∵x>0,∴x>1; 令f′(x)<0,可得0<x<1,∵x>0,∴0<x<1; ∴x=1时,函数f(x)取得极小值为1; (Ⅱ)f′(x)= 当=1,即a=2时,f′(x)=-≤0,f(x)在(0,+∞)上是减函数; 当<1,即a>2时,令f′(x)<0,得0<x<或x>1;令f′(x)>0,得<x<1 当>1,即1<a<2时,令f′(x)<0,得0<x<1或x>;令f′(x)>0,得1<x< 综上,当a=2时,f(x)在定义域上是减函数; 当a>2时,f(x)在(0,)和(1,+∞)上单调递减,在(,1)上单调递增; 当1<a<2时,f(x)在(0,1)和(,+∞)上单调递减,在(1,)上单调递增; (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当a∈(3,4)时,f(x)在[1,2]上单调递减 ∴当x=1时,f(x)有最大值,当x=2时,f(x)有最小值 ∴|f(x1)-f(x2)|≤f(1)-f(2)=-+ln2 ∴对任意a∈(3,4),恒有m+ln2>-+ln2 ∴m> 构造函数g(a)=,则g′(a)= ∵a∈(3,4),∴g′(a)=>0 ∴函数g(a)=在(3,4)上单调增 ∴g(a)∈(0,) ∴m≥. |