已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的最小值;(2)若n∈N*,证明:(1n)n+(2n)n+…+(n-1n)n+(nn)n<

已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的最小值;(2)若n∈N*,证明:(1n)n+(2n)n+…+(n-1n)n+(nn)n<

题型:广州一模难度:来源:
已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若n∈N*,证明:(
1
n
)n+(
2
n
)n+…+(
n-1
n
)n+(
n
n
)n
e
e-1
答案
(1)∵f(x)=ex-x,∴f"(x)=ex-1,令f"(x)=0,得x=0.
∴当x>0时,f"(x)>0,当x<0时,f"(x)<0.∴函数f(x)=ex-x在区间(-∞,0)上单调递减,
在区间(0,+∞)上单调递增.∴当x=0时,f(x)有最小值1.
(2)证明:由(1)知,对任意实数x均有ex-x≥1,即1+x≤ex.令x=-
k
n
(n∈N*,k=1,2,,n-1),
0<1-
k
n
e-
k
n
,∴(1-
k
n
)n≤(e
k
n
)n=e-k(k=1,2,,n-1)

(
n-k
n
)ne-k(k=1,2,,n-1)
.∵(
n
n
)n=1

(
1
n
)
n
+(
2
n
)
n
+…+(
n-1
n
)
n
+(
n
n
)
n
e-(n-1)+e-(n-2)+… .+e-2+e-1+1

e-(n-1)+e-(n-2)+…+e-2+e-1+1=
1-e-n
1-e-1
1
1-e-1
=
e
e-1

(
1
n
)
n
+(
2
n
)
n
+…+(
n-1
n
)
n
+(
n
n
)
n
e
e-1
举一反三
设x∈R,函数y=k•sinx+sin(
2
-x)
的最小值是-2,则实数k=______.
题型:西城区二模难度:| 查看答案
对于任意k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x-2k+4的值恒大于零,则x的取值范围是______.
题型:不详难度:| 查看答案
电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=
1
3
x3-
39
2
x2-40x(x>0)
,为使耗电量最小,则其速度应定为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x(x-a)(x-b),其中a、b∈R
(I)当a=0,b=3时,求函数,f(x)的极值;
(Ⅱ)当a=0时,
f(x)
x2
-lnx≥0在[1,+∞)上恒成立,求b的取值范围
(Ⅲ)若0<a<b,点A(s,f(s)),B(t,f(t))分别是函数f(x)的两个极值点,且0A⊥OB,其中0为原点,求a+b的取值范围.
题型:潍坊二模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
1
2
x2+ln x-1.
(1)求函数f(x)在区间[1,e](e为自然对数的底)上的最大值和最小值;
(2)求证:在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=
2
3
x3的图象的下方;
(3)求证:[f′(x)]n-f′(xn)≥2n-2 (n∈N*).
题型:不详难度:| 查看答案
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