已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的最小值;(2)若n∈N*,证明:(1n)n+(2n)n+…+(n-1n)n+(nn)n<
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已知函数f(x)=ex-x(e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的最小值;(2)若n∈N*,证明:(1n)n+(2n)n+…+(n-1n)n+(nn)n<
题型:广州一模
难度:
来源:
已知函数f(x)=e
x
-x(e为自然对数的底数).
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若n∈N
*
,证明:
(
1
n
)
n
+(
2
n
)
n
+…+(
n-1
n
)
n
+(
n
n
)
n
<
e
e-1
.
答案
(1)∵f(x)=e
x
-x,∴f"(x)=e
x
-1,令f"(x)=0,得x=0.
∴当x>0时,f"(x)>0,当x<0时,f"(x)<0.∴函数f(x)=e
x
-x在区间(-∞,0)上单调递减,
在区间(0,+∞)上单调递增.∴当x=0时,f(x)有最小值1.
(2)证明:由(1)知,对任意实数x均有e
x
-x≥1,即1+x≤e
x
.令
x=-
k
n
(n∈N
*
,k=1,2,,n-1),
则
0<1-
k
n
≤
e
-
k
n
,∴
(1-
k
n
)
n
≤(
e
-
k
n
)
n
=
e
-k
(k=1,2,,n-1)
.
即
(
n-k
n
)
n
≤
e
-k
(k=1,2,,n-1)
.∵
(
n
n
)
n
=1
,
∴
(
1
n
)
n
+
(
2
n
)
n
+…+
(
n-1
n
)
n
+
(
n
n
)
n
≤
e
-(n-1)
+
e
-(n-2)
+… .+
e
-2
+
e
-1
+1
.
∵
e
-(n-1)
+
e
-(n-2)
+…+
e
-2
+
e
-1
+1=
1-
e
-n
1-
e
-1
<
1
1-
e
-1
=
e
e-1
,
∴
(
1
n
)
n
+
(
2
n
)
n
+…+
(
n-1
n
)
n
+
(
n
n
)
n
<
e
e-1
.
举一反三
设x∈R,函数
y=k•sinx+sin(
3π
2
-x)
的最小值是-2,则实数k=______.
题型:西城区二模
难度:
|
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对于任意k∈[-1,1],函数f(x)=x
2
+(k-4)x-2k+4的值恒大于零,则x的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为
y=
1
3
x
3
-
39
2
x
2
-40x(x>0)
,为使耗电量最小,则其速度应定为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=x(x-a)(x-b),其中a、b∈R
(I)当a=0,b=3时,求函数,f(x)的极值;
(Ⅱ)当a=0时,
f(x)
x
2
-lnx≥0在[1,+∞)上恒成立,求b的取值范围
(Ⅲ)若0<a<b,点A(s,f(s)),B(t,f(t))分别是函数f(x)的两个极值点,且0A⊥OB,其中0为原点,求a+b的取值范围.
题型:潍坊二模
难度:
|
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已知函数f(x)=
1
2
x
2
+ln x-1.
(1)求函数f(x)在区间[1,e](e为自然对数的底)上的最大值和最小值;
(2)求证:在区间(1,+∞)上,函数f(x)的图象在函数g(x)=
2
3
x
3
的图象的下方;
(3)求证:[f′(x)]
n
-f′(x
n
)≥2
n
-2 (n∈N
*
).
题型:不详
难度:
|
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