(I)当a=0,b=3时,f(x)=x3-3x2 ∴f′(x)=3x2-6x=3x(x-2) 令f′(x)>0,可得x<0或x>2,令f′(x)<0,可得0<x<2 ∴x=0时,函数取得极大值为0,x=2时,函数取得极小值为-4; (Ⅱ)当a=0时,-lnx=x-b-lnx≥0在[1,+∞)上恒成立, ∴b≤x-lnx在[1,+∞)上恒成立 令g(x)=x-lnx,则g′(x)= ∵x>1,∴g′(x)=>0 ∴g(x)在[1,+∞)上是增函数 ∴g(x)min=g(1)=1 ∴b≤1; (Ⅲ)由题意,•=0,∴st+f(s)f(t)=0 ∴st+st(s-a)(s-b)(t-a)(t-b)=0① ∴f′(x)=3x2-2(a+b)x+ab ∵s,t是f′(x)=0的两根 ∴s+t=,st=>0 ∴①可化为(a2-)(b2-)=-1 ∴ab(a-b)2=9 ∴(a-b)2= ∴(a-b)2= ∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=+4ab≥12 当且仅当=4ab,即ab=时取“=” ∴a+b的取值范围是[2,+∞). |