设a为实数,函数f(x)=x22+ax-1,x∈[2,2].(1)若a=1,求函数f(x)的值域;(2)记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a).
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设a为实数,函数f(x)=x22+ax-1,x∈[2,2].(1)若a=1,求函数f(x)的值域;(2)记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a).
题型:不详
难度:
来源:
设a为实数,函数f(x)=
x
2
2
+
a
x
-1
,x∈[
2
,2].
(1)若a=1,求函数f(x)的值域;
(2)记函数f(x)的最小值为g(a),求g(a).
答案
(1)a=1,求导函数可得
f′(x)=
x
3
-1
x
2
∵x∈[
2
,2],
∴f(x)在[
2
,2]上是增函数,
∴f(x)的值域为[
2
2
,
3
2
];
(2)
f′(x)=
x
3
-a
x
2
,x∈[
2
,2],
①
a≤2
2
时,x
3
-a≥0,f′(x)≥0,∴f(x)在[
2
,2]上是增函数,
∴
g(a)=f(
2
)=
2
a
2
;
②当
2
2
<a<8
时,函数在[
2
,
3
a
]上,f′(x)<0,∴f(x)在[
2
,
3
a
]上是减函数,在[
3
a
,2
]上,f′(x)>0,∴f(x)在[
3
a
,2
]上是增函数,
∴g(a)=
f(
3
a
)
=
3
3
a
2
2
-1
;
③当a≥8时,f′(x)≤0,∴f(x)在[
2
,2
]上是减函数,∴g(a)=f(2)=
2+a
2
∴g(a)=
2
2
a,a≤2
2
3
3
a
2
2
-1,2
2
<a<8
2+a
2
,a≥8
.
举一反三
已知函数
f(x)=lnx+
1
x
+ax,x∈(0,+∞)
(a为实常数).
(1)当a=0时,求函数f(x)的最小值;
(2)若函数f(x)在[2,+∞)上是单调函数,求a的取值范围.
题型:昌平区一模
难度:
|
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若函数
f(x)=x+
13-2tx
(t∈N
*
)的最大值是正整数M,则M=______.
题型:镇江一模
难度:
|
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已知x>
1
2
,函数f(x)=x
2
,h(x)=2e lnx(e为自然常数).
(Ⅰ)求证:f(x)≥h(x);
(Ⅱ)若f(x)≥h(x)且g(x)≤h(x)恒成立,则称函数h(x)的图象为函数f(x),g(x)的“边界”.已知函数g(x)=-4x
2
+px+q(p,q∈R),试判断“函数f(x),g(x)以函数h(x)的图象为边界”和“函数f(x),g(x)的图象有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立?若能同时成立,请求出实数p、q的值;若不能同时成立,请说明理由.
题型:郑州二模
难度:
|
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函数y=2x
3
+3x
2
-12x+14在[-3,4]上的最大值为 ,最小值为 .
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
x
,g(x)=alnx,a∈R.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程;
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ.
题型:陕西
难度:
|
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