(I)证明:记u(x)=f(x)-h(x)=x2-2elnx, 则u′(x)=2x-, 令u"(x)>0,注意到x>,可得x>, 所以函数u(x)在(,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.u(x)min=u()=f()-h()=e-e=0,即u(x)≥0, ∴f(x)≥h(x). (II)由(I)知,f(x)≥h(x)对x>恒成立,当且仅当x=时等号成立, 记v(x)=h(x)-g(x)=2elnx+4x2-px-q,则 “v(x)≥0恒成立”与“函数f(x),g(x)的图象有且仅有一个公共点”同时成立, 即v(x)≥0对x>恒成立,当且仅当x=时等号成立, 所以函数v(x)在x=时取极小值, 注意到v′(x)=+8x-p=, 由v′()=0,解得p=10, 此时v′(x)=, 由x>知,函数v(x)在(,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增, 即v(x)min=v()=h()-g()=-5e-q=0,q=-5e, 综上,两个条件能同时成立,此时p=10,q=-5e. |