(1)由题知,抛物线C的焦点F(0,),A(x1,),B(x2,),所以=(x1,-),=(x2,-). 因为=λ,所以=λ共线,即 x1(-)-x2(-)=0, 即(x2-x1)(x1x2+)=0. 因为x1<x2,所以x1x2=-.(2分) 由题设条件x1<x2知,直线AB的斜率k一定存在,且 k===x1+x2.(3分) 设直线AB的方程为y=kx+,则直线AB与抛物线C所围的面积 S=(kx+-x2)dx=(-x3+•x2+x) =(-+•+x2)-(-+•+x1) =-(-)+(-)+(x2-x1) =(x2-x1)[-(+x2x1+)+(x2+x1)+] =[-(x2+x1)2+x2x1+(x2+x1)+] =[-k2-×+•k+]
=(k2+1)≥, 当且仅当k=0,即x1=-x2,即λ=-1时,Smin=.(5分) (2)由题知A(x1,x12),B(x2,x22),且x1<x2,则直线AB的斜率kAB===x1+x2. 设直线AB的方程为y-x12=k(x-x1),即y=(x1+x2)x-x1x2, 则直线AB与抛物线C所围的面积 S=[(x1+x2)x-x1x2-x2]dx =(•x2-x1x2x-x3)=(x2-x1)3, 因为S=,所以(x2-x1)3=,得x2-x1=2.(8分)设M(x,y),则x==x1+1, y===+2x1+2=(x1+1)2+1, 所以y=x2+1. 故点M的轨迹方程为y=x2+1.(10分) |