已知函数f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值.
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已知函数f(x)=x2e-ax(a>0),求函数在[1,2]上的最大值. |
答案
∵f′(x)=2xe-ax+x2(-a)e-ax=e-ax(-ax2+2x)(2分) 令f′(x)>0,∵e-ax>0(3分) ∴-ax2+2x>0,解得0<x<(4分) ∴f(x)在(-∞,0)和(,+∞)内是减函数,在(0,)内是增函数.(6分) ①当0<<1,即a>2时,f(x)在(1,2)内是减函数. ∴在[1,2]上fmax(x)=f(1)=e-a;(8分) ②当1≤≤2,即1≤a≤2时,f(x)在(1,)内是增函数,在(,2)内是减函数. ∴在[1,2]上fmax(x)=f()=4a-2e-2;(10分) ③当>2即0<a<1时,f(x)在(1,2)是增函数. ∴在[1,2]上fmax(x)=f(2)=4e-2a.(12分) 综上所述,当0<a<1时,f(x)在[1,2]上的最大值为4e-2a; 当1≤a≤2时,f(x)在[1,2]上的最大值为4a-2e-2; 当a>2时,f(x)在[1,2]上的最大值为e-a.(13分) |
举一反三
函数f(x)=x3-3x+1在闭区间[-3,0]上的最大值、最小值分别是______. |
求函数f(x)=(x<-1)的最大值及相应x的值. |
用长度为定值l的铁丝围成一个底面边长是x,体积是V的正四棱柱形状的框架. (Ⅰ)试将V表示成x的函数,并指出x的取值范围; (Ⅱ)当正四棱柱的底面边长和高之比是多少时,其体积最大? |
设函数f(x)=(1+x)2-2ln(1+x). (1)求f(x)的单调区间; (2)若当x∈[-1,e-1]时,(其中e=2.718…)不等式f(x)<m恒成立, 求实数m的取值范围; (3)试讨论关于x的方程:f(x)=x2+x+a在区间[0,2]上的根的个数. |
求函数y=x4-2x2+5在区间[-2,2]上的最大值与最小值. |
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