用长度为定值l的铁丝围成一个底面边长是x，体积是V的正四棱柱形状的框架．（Ⅰ）试将V表示成x的函数，并指出x的取值范围；（Ⅱ）当正四棱柱的底面边长和高之比是多少
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用长度为定值l的铁丝围成一个底面边长是x，体积是V的正四棱柱形状的框架．
（Ⅰ）试将V表示成x的函数，并指出x的取值范围；
（Ⅱ）当正四棱柱的底面边长和高之比是多少时，其体积最大？ |
答案
（Ⅰ）由长度为定值l的铁丝围成的底面边长为x，则正四棱柱的高为，根据体积公式得：
V=x2•=x2-2x3，
又因为l-8x＞0且x＞0解得x的取值范围是（0，）．
（Ⅱ）求出V′=x-6x2=-6x（x-），
在（0，）上，V′＞0，函数单调递增；在（，）上，V′＜0，函数单调递减．
∴当x=时，V取最大值．
此时，正四棱柱的高为，于是当正四棱柱底面边长和高之比是1时，其体积最大． |
举一反三
设函数f（x）=（1+x）2-2ln（1+x）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若当x∈[-1，e-1]时，（其中e=2.718…）不等式f（x）＜m恒成立，
求实数m的取值范围；
（3）试讨论关于x的方程：f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上的根的个数． |
| 求函数y=x4-2x2+5在区间[-2，2]上的最大值与最小值． |
| 求函数f（x）=-x3+3x2在区间[-2，2]上的最大值和最小值． |
| 求函数f（x）=x3-12x+8在区间[-3，3]上的最大值与最小值． |
| 已知f（x）=x3+3x2+a（a为常数），在[-3，3]上有最小值3，那么在[-3，3]上f（x）的最大值是______． |
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