定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x1、x2∈D都有|f（x1）-f（x2）|＜1，则称函数y=f（x）为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”．试问函

题型：不详难度：来源：

定义在定义域D内的函数y=f（x），若对任意的x₁、x₂∈D都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，则称函数y=f（x）为“妈祖函数”，否则称“非妈祖函数”．试问函数f（x）=x³-x+α（x∈[-1，1]，α∈R）是否为“妈祖函数”？如果是，请给出证明；如果不是，请说明理由．

答案

因为|f（x₁）-f（x₂）|＜|f_max-f_min|，
函数f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]导数是f′（x）=3x²-1
当3x²-1=0时，即x=±

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，当0＜x＜

3

3

时，f′（x）=3x²-1＜0，当x＞

3

3

时，
f′（x）=3x²-1＞0，故f（x）在x∈[0，1]内的极小值是a-

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，同理，
f（x）在[-1，0]内的极大值是a+

2 3

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，因为f（1）=f（-1）=a，
所以函数f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]的最大值是a+

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9

，最小值是a-

2 3

9

，
故|f（x₁）-f（x₂）|＜|f_max-f_min|=

4 3

9

＜1
所以函数f（x）=x³-x+a（x∈[-1，1]，a∈R]是“妈祖函数”．（2分）