将直径为d的圆木锯成长方体横梁,横截面为矩形,横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k,k>0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,断面的
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将直径为d的圆木锯成长方体横梁,横截面为矩形,横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k,k>0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,断面的
题型:不详
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将直径为d的圆木锯成长方体横梁,横截面为矩形,横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k,k>0).要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁,断面的宽x应是多少?
答案
设断面高为h,则h
2
=d
2
-x
2
.
横梁的强度函数f(x)=k•xh
2
,
所以f(x)=kx•(d
2
-x
2
),0<x<d.(5分)
当x∈(0,d)时,令f′(x)=k(d
2
-3x
2
)=0.(7分)
解得
x=±
3
3
d
(舍负).(8分)
当
0<x<
3
3
d
时,f′(x)>0;(9分)
当
3
3
d<x<d
时,f′(x)<0.(10分)
因此,函数f(x)在定义域(0,d)内只有一个极大值点
x=
3
3
d
.
所以f(x)在
x=
3
3
d
处取最大值,就是横梁强度的最大值.(12分)
即当断面的宽为
3
3
d
时,横梁的强度最大.(13分)
举一反三
函数y=2x
3
-3x
2
-12x+5在区间[0,3]上最大值与最小值分别是( )
A.5,-15
B.5,-4
C.-4,-15
D.5,-16
题型:不详
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(Ⅰ)写出y关于x的函数表达式;
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题型:湛江二模
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已知函数f(x)=
1
2
x
2
-2x,g(x)=lo
g
a
x(a>0,且a≠1),其中a为常数,如果h(x)=f(x)+g(x)在其定义域上是增函数,且h"(x)存在零点(h"(x)为h(x)的导函数).
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0
)=
g(n)-g(m)
n-m
(g"(x)为g(x)的导函数),证明:m<x
0
<n.
题型:枣庄一模
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定义在定义域D内的函数y=f(x),若对任意的x
1
、x
2
∈D都有|f(x
1
)-f(x
2
)|<1,则称函数y=f(x)为“妈祖函数”,否则称“非妈祖函数”.试问函数f(x)=x
3
-x+α(x∈[-1,1],α∈R)是否为“妈祖函数”?如果是,请给出证明;如果不是,请说明理由.
题型:不详
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函数f(x)=x
3
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题型:不详
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