已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,(a∈R,a≠0).(1)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值

已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,(a∈R,a≠0).(1)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值

题型:不详难度:来源:
已知函数f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,(a∈R,a≠0).
(1)当a=8时,求函数f(x)的单调区间;
(2)求函数f(x)在区间[e,e2]上的最小值.
答案
(1)f(x)=x2-4x-6lnx,f"(x)=2x-4-
6
x
=
2(x+1)(x-3)
x
,(2分)
由f"(x)>0得(x+1)(x-3)>0,
解得x>3或x<-1.
注意到x>0,所以函数f(x)的单调递增区间是(3,+∞).
由f"(x)<0得(x+1)(x-3)<0,
解得-1<x<3,
注意到x>0,所以函数f(x)的单调递减区间是(0,3).
综上所述,函数f(x)的单调递增区间是(3,+∞),单调递减区间是(0,3).(6分)
(2)当x∈[e,e2]时,f(x)=x2-4x+(2-a)lnx,
所以f"(x)=2x-4+
2-a
x
=
2x2-4x+2-a
x

设g(x)=2x2-4x+2-a.
①当a≤0时,有△=16-4×2(2-a)=8a≤0
所以f"(x)≥0,f(x)在[e,e2]上单调递增.
所以f(x)min=f(e)=e2-4e+2-a(8分)
②当a>0时,△=16-4×2(2-a)=8a>0,
令f"(x)>0,即2x2-4x+2-a>0,解得x>1+


2a
2
或x<1-


2a
2
(舍);
令f"(x)<0,即2x2-4x+2-a<0,解得1-


2a
2
<x<1+


2a
2

10若1+


2a
2
e2
,即a≥2(e2-1)2时,f(x)在区间[e,e2]单调递减,
所以f(x)min=f(e2)=e4-4e2+4-2a.
20若e<1+


2a
2
e2
,即2(e-1)2<a<2(e2-1)2时,f(x)在区间[e,1+


2a
2
]
上单调递减,
在区间[1+


2a
2
e2]
上单调递增,所以f(x)min=f(1+


2a
2
)=
a
2
-


2a
-3+(2-a)ln(1+


2a
2
)

30若1+


2a
2
≤e,即0<a≤2(e-1)2时,f(x)在区间[e,e2]单调递增,
所以f(x)min=f(e)=e2-4e+2-a.(14分)
综上所述,
当a≥2(e2-1)2时,f(x)min=e4-4e2+4-2a;
当2(e-1)2<a<2(e2-1)2时,f(x)min=
a
2
-


2a
-3+(2-a)ln(1+


2a
2
)

当a≤2(e-1)2时,f(x)min=e2-4e+2-a.(16分)
举一反三
函数y=x4-4x+3在区间[-2,3]上的最大值为______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=





-x3+x2,x<1
alnx,     x≥1.

(Ⅰ)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值;
(Ⅱ)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?
题型:浙江模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R.
(I)当a=-1时,求f(x)的最大值;
(II)对f(x)图象上的任意不同两点P1(x1,x2),P(x2,y2)(0<x1<x2),证明f(x)图象上存在点P0(x0,y0),满足x1<x0<x2,且f(x)图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等;
(III)当a=
3
2
时,设正项数列{an}满足:an+1=f"(an)(n∈N*),若数列{a2n}是递减数列,求a1的取值范围.
题型:黄州区模拟难度:| 查看答案
一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比,已知当速度为每小时20千米时,每小时消耗的煤的费用为40元;火车行驶的其它费用为每小时200元,则火车行驶的速度为______(千米/小时)时,火车从甲城开往乙城的总费用最省(已知甲、乙两城距离为a千米,且火车最高速度为每小时100千米).
题型:不详难度:| 查看答案
如果对于任意的正实数x,不等式x+
a
x
≥1
恒成立,则a的取值范围是______.
题型:深圳二模难度:| 查看答案
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