已知函数f（x）=x2-4x+（2-a）lnx，（a∈R，a≠0）．（1）当a=8时，求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在区间[e，e2]上的最小值
题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=x2-4x+（2-a）lnx，（a∈R，a≠0）．
（1）当a=8时，求函数f（x）的单调区间；
（2）求函数f（x）在区间[e，e2]上的最小值． |
答案
（1）f（x）=x2-4x-6lnx，f"（x）=2x-4-=，（2分）
由f"（x）＞0得（x+1）（x-3）＞0，
解得x＞3或x＜-1．
注意到x＞0，所以函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞）．
由f"（x）＜0得（x+1）（x-3）＜0，
解得-1＜x＜3，
注意到x＞0，所以函数f（x）的单调递减区间是（0，3）．
综上所述，函数f（x）的单调递增区间是（3，+∞），单调递减区间是（0，3）．（6分）
（2）当x∈[e，e2]时，f（x）=x2-4x+（2-a）lnx，
所以f"（x）=2x-4+=，
设g（x）=2x2-4x+2-a．
①当a≤0时，有△=16-4×2（2-a）=8a≤0
所以f"（x）≥0，f（x）在[e，e2]上单调递增．
所以f（x）min=f（e）=e2-4e+2-a（8分）
②当a＞0时，△=16-4×2（2-a）=8a＞0，
令f"（x）＞0，即2x2-4x+2-a＞0，解得x＞1+或x＜1-（舍）；
令f"（x）＜0，即2x2-4x+2-a＜0，解得1-＜x＜1+．
10若1+≥e2，即a≥2（e2-1）2时，f（x）在区间[e，e2]单调递减，
所以f（x）min=f（e2）=e4-4e2+4-2a．
20若e＜1+＜e2，即2（e-1）2＜a＜2（e2-1）2时，f（x）在区间[e，1+]上单调递减，
在区间[1+，e2]上单调递增，所以f(x)min=f(1+)=--3+(2-a)ln(1+)．
30若1+≤e，即0＜a≤2（e-1）2时，f（x）在区间[e，e2]单调递增，
所以f（x）min=f（e）=e2-4e+2-a．（14分）
综上所述，
当a≥2（e2-1）2时，f（x）min=e4-4e2+4-2a；
当2（e-1）2＜a＜2（e2-1）2时，f（x）min=--3+(2-a)ln(1+)；
当a≤2（e-1）2时，f（x）min=e2-4e+2-a．（16分） |
举一反三
| 函数y=x4-4x+3在区间[-2，3]上的最大值为______． |
已知函数f(x)=
（Ⅰ）求f（x）在[-1，e]（e为自然对数的底数）上的最大值；
（Ⅱ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P，Q，使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？ |
已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．
（I）当a=-1时，求f（x）的最大值；
（II）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等；
（III）当a=时，设正项数列{an}满足：an+1=f"（an）（n∈N*），若数列{a2n}是递减数列，求a1的取值范围． |
| 一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤的费用为40元；火车行驶的其它费用为每小时200元，则火车行驶的速度为______（千米/小时）时，火车从甲城开往乙城的总费用最省（已知甲、乙两城距离为a千米，且火车最高速度为每小时100千米）． |
| 如果对于任意的正实数x，不等式x+≥1恒成立，则a的取值范围是______． |
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