(Ⅰ)当a=-1时,f(x)=-x+lnx,f′(x)=-1+=. 对于x∈(0,1),有f"(x)>0,∴f(x)在区间(0,1]上为增函数, 对于x∈(1,+∞),有f"(x)<0,∴f(x)在区间(1,+∞)上为减函数,. ∴fmax(x)=f(1)=-1; (II)直线P1P2的斜率为 k==a+; 由(1)知-x+lnx≤-1,当且仅当x=1时取等号, ∴-+ln<-1⇒ln<-1⇒lnx2-lnx1<⇒<, 同理,由 -+ln<-1,可得 >; 故P1P2的斜率 k∈(a+,a+), 又在x∈(x1,x2)上,f′(x)=a+∈(a+,a+), 所以f(x)图象上存在点P0(x0,y0),满足x1<x0<x2,且f(x)图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行; (III)f(x)=x+lnx,f′(x)=+,∴an+1=+, a3=+,a4=+=+=<a2⇒2a22-3a2-2>0, ⇒(2a2+1)(a2-1)>0⇒a2>2⇒+>2⇒0<a1<2, 下面我们证明:当0<a1<2时,a2n+2<a2n,且a2n>2(n∈N+) 事实上,当n=1时,0<a1<2⇒a2=+>2, a4-a2=-a2=-<0⇒a4<a2,结论成立. 若当n=k时结论成立,即a2k+2<a2k,且a2k>2,则 a2k+2=+>2⇒a2k+4=+>2, a2k+4-a2k+2=-a2k+2=-3(2a2k+2+1)(a2k+2-2) | 2(3a2k+2+2) | <0 ⇒a2k+4<a2k+2, 由上述证明可知,a1的取值范围是(0,2). |