(Ⅰ)设h(t)=n-m,则h(t)=t3-6t2+32=(t+2)(t-4)2≥0,所以n≥m. (Ⅱ)f′(x)=3x2-12,令f′(x)=0,得x1=0,x2=4. 当t∈(-2,0)时,x∈[-2,t]时,f′(x)>0,f(x)是递增函数;当t=0时,显然f(x)在[-2,0]也是递增函数. ∵x=0是f(x)的一个极值点,∴当t>0时,函数f(x)在[-2,t]上不是单调函数.∴当t∈(-2,0]时,函数f(x)在[-2,t]上是单调函数. (Ⅲ)由(1),知n-m=(t+2)(t-4)2,∴=(t-4)2. 又∵f′(x)=3x2-12,我们只要证明方程3x2-12x-(t-4)2=0在(-2,t)内有解即可. 记g(x)=3x2-12x-(t-4)2,则g(-2)=36-(t-4)2=-(t+2)(t-10),g(t)=3t2-12t-(t-4)2=2(t+2)(t-4),g(-2)=36-(t-4)2>0,g(t)=3t2-12t-(t-4)2>0, ∴g(-2)•g(t)=-2(t+2)2(t-4)(t-10). ①当t∈(-2,4)∪(10,+∞)时,g(-2)•g(t)=-2(t+2)2(t-4)(t-10)<0,方程(*)在(-2,t)内有且只有一解; ②当t∈(4,10)时,g(-2)=-(t+2)(t-10)>0,g(t)=2(t+2)(t-4)>0,又g(2)=-12-(t-4)2<0,∴方程(*)在(-2,2),(2,t)内分别各有一解,方程(*)在(-2,t)内两解; ③当t=4时,方程g(x)=3x2-12x=0在(-2,4)内有且只有一解x=0; ④当t=10时,方程g(x)=3x2-12x-36=3(x+2)(x-6)=0在(-2,10)内有且只有一解x=6. 综上,对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足f′(x0)=. 当t∈(-2,4]∪[10,+∞)时,满足f′(x0)=,x0∈(-2,t)的x0有且只有一个; 当t∈(4,10)时,满足f′(x0)=,x0∈(-2,t)的x0恰有两个. |