已知函数f(x)=-x3+x2,x<1alnx,     x≥1.(Ⅰ)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值;(Ⅱ)对任意给定的正实数a,曲

已知函数f(x)=-x3+x2,x<1alnx,     x≥1.(Ⅰ)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值;(Ⅱ)对任意给定的正实数a,曲

题型:浙江模拟难度:来源:
已知函数f(x)=





-x3+x2,x<1
alnx,     x≥1.

(Ⅰ)求f(x)在[-1,e](e为自然对数的底数)上的最大值;
(Ⅱ)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?
答案
(Ⅰ)因为f(x)=





-x3+x2,x<1
alnx,     x≥1.

①当-1≤x≤1时,f"(x)=-x(3x-2),解f"(x)>0得到0<x<
2
3
;解f"(x)<0得到-1<x<0或
2
3
<x<1
.所以f(x)在(-1,0)和(
2
3
,1)
上单调递减,在(0,
2
3
)
上单调递增,
从而f(x)在x=
2
3
处取得极大值f(
2
3
)=
4
27
.…(3分),
又f(-1)=2,f(1)=0,所以f(x)在[-1,1)上的最大值为2.…(4分)
②当1≤x≤e时,f(x)=alnx,当a≤0时,f(x)≤0;当a>0时,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以f(x)在[1,e]上的最大值为a.
所以当a≥2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为a;当a<2时,f(x)在[-1,e]上的最大值为2.…(8分)
(Ⅱ)假设曲线y=f(x)上存在两点P,Q,使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形,则P,Q只能在y轴的两侧,不妨设P(t,f(t))(t>0),则Q(-t,t3+t2),且t≠1.…(9分)
因为△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,所以


OP


OQ
=0

即:-t2+f(t)•(t3+t2)=0(1)…(10分)   
是否存在点P,Q等价于方程(1)是否有解.
若0<t<1,则f(t)=-t3+t2,代入方程(1)得:t4-t2+1=0,此方程无实数解.…(11分)
若t>1,则f(t)=alnt,代入方程(1)得到:
1
a
=(t+1)lnt
,…(12分)
设h(x)=(x+1)lnx(x≥1),则h′(x)=lnx+
1
x
>0
在[1,+∞)上恒成立.
所以h(x)在[1,+∞)上单调递增,从而h(x)≥h(1)=0,
所以当a>0时,方程
1
a
=(t+1)lnt
有解,即方程(1)有解.…(14分)
所以,对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上.…(15分)
举一反三
已知函数f(x)=ax+lnx,a∈R.
(I)当a=-1时,求f(x)的最大值;
(II)对f(x)图象上的任意不同两点P1(x1,x2),P(x2,y2)(0<x1<x2),证明f(x)图象上存在点P0(x0,y0),满足x1<x0<x2,且f(x)图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平等;
(III)当a=
3
2
时,设正项数列{an}满足:an+1=f"(an)(n∈N*),若数列{a2n}是递减数列,求a1的取值范围.
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一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比,已知当速度为每小时20千米时,每小时消耗的煤的费用为40元;火车行驶的其它费用为每小时200元,则火车行驶的速度为______(千米/小时)时,火车从甲城开往乙城的总费用最省(已知甲、乙两城距离为a千米,且火车最高速度为每小时100千米).
题型:不详难度:| 查看答案
如果对于任意的正实数x,不等式x+
a
x
≥1
恒成立,则a的取值范围是______.
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函数f(x)=x3-6x2的定义域为[-2,t],设f(-2)=m,f(t)=n,f′(x)是f(x)的导数.
(Ⅰ)求证:n≥m;
(Ⅱ)确定t的范围使函数f(x)在[-2,t]上是单调函数;
(Ⅲ)求证:对于任意的t>-2,总存在x0∈(-2,t),满足f(x0)=
n-m
t+2
;并确定这样的x0的个数.
题型:不详难度:| 查看答案
f(x)=2x3-6x2+a在[-2,2]上有最大值3,那么在[-2,2]上f(x)的最小值是(  )
A.-5B.-11C.-29D.-37
题型:不详难度:| 查看答案
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