已知函数f（x）=lnx．（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；（2）当0＜a＜b时，求证f(b)-f(a)＞2a(b-a)a2+b2．

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=lnx．
（1）求函数g（x）=f（x+1）-x的最大值；
（2）当0＜a＜b时，求证f(b)-f(a)＞

2a(b-a)

a2+b2

．

答案

（1）∵f（x）=lnx，g（x）=f（x+1）-x
∴g（x）=ln（x+1）-x（x＞-1），∴g′(x)=

1

x+1

-1
令g′（x）=0，得x=0
当-1＜x＜0时，g′（x）＞0，当x＞0时，g′（x）＜0，又g（0）=0
∴当且仅当x=0时，g（x）取得最大值0 （6分）
（2）证明：f(a)-f(b)=lnb-lna=ln

b

a

=-ln

a

b

=-ln(1+

a-b

b

)
由（1）知ln(1+x)≤x，f(b)-f(a)≥-

a-b

b

=

b-a

b

又∵0＜a＜b，∴a²+b²＞2ab，∴

1

b

＞

2a

a2+b2

∴

b-a

b

＞

2a(b-a)

a2+b2

∴f(b)-f(a)＞

2a(b-a)

a2+b2

（12分）