已知函数f（x）=lnx﹣2kx，（k常数）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）＜x3+lnx恒成立，求k的取值范围．

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已知函数f（x）=lnx﹣2kx，（k常数）
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）＜x³+lnx恒成立，求k的取值范围．

答案

解：（1）由f（x）=lnx﹣2kx，得

，
∵f（x）的定义域为（0，+∞），
∴当k≤0时，

，f（x）在（0，+∞）是增函数，
当k＞0时，由

，得

，
∴f（x）在（0，

）上是增函数，在（

，+∞）上是减函数，
综上，当k≤0时，f（x）的单调增区间是（0，+∞）；
当k＞0时，f（x）的单调增区间是（0，

），单调减区间是（

）．
（2）由f（x）＜x³+lnx恒成立，得x³+2kx＞0恒成立，x∈（0，+∞），即2kx＞﹣x³，
∴2k＞﹣x²恒成立，
∵﹣x²＜0，2k≥0，
∴k的取值范围是[0，+∞）．

举一反三

某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站．记P到三个村庄的距离之和为y．
（1）设∠PBO=α，把y表示成α的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？

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已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f₂（x）﹣f₁（x）≤k（x﹣a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）已知函数f（x）=2sinx，x∈[0，

]，试写出f₁（x），f₂（x）的表达式，并判断f（x）是否为[0，

]上的“k阶收缩函数”，如果是，请求对应的k的值；如果不是，请说明理由；
（2）已知b＞0，函数g（x）=﹣x³+3x²是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．

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设二次函数f（x）=mx²+nx+t的图象过原点，g（x）=ax³+bx﹣3（x＞0），f（x），g（x）的导函数为f"（x），g"（x），且f"（0）=0，f"（﹣1）=﹣2，f（1）=g（1），f"（1）=g"（1）．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）求F（x）=f（x）﹣g（x）的极小值；
（3）是否存在实常数k和m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m？若存在，求出k和m的值；若不存在，说明理由．

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已知函数f（x）=lnx﹣

，g（x）=f（x）+ax﹣6lnx，其中a∈R．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若g（x）在其定义域内为增函数，求正实数a的取值范围；
（3）设函数h（x）=x²﹣mx+4，当a=2时，若

∈（0，1），

x₂∈[1，2]，总有g（

）≥h（x₂）成立，求实数m的取值范围．

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某商店经销一种奥运会纪念品，每件产品的成本为30元，并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元（a为常数，2≤a≤5 ）的税收．设每件产品的售价为x元（35≤x≤41），根据市场调查，日销售量与e^x（e为自然对数的底数）成反比例．已知每件产品的日售价为40．元时，日销售量为10件．
（1）求该商店的日利润L（x）元与每件产品的日售价x元的函数关系式；
（2）当每件产品的日售价为多少元时，该商品的日利润L（x）最大，并求出L（x）的最大值．

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