设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点,g(x)=ax3+bx﹣3(x>0),f(x),g(x)的导函数为f"(x),g"(x),且f"(0)=0,f
题型:湖南省月考题难度:来源:
设二次函数f(x)=mx2+nx+t的图象过原点,g(x)=ax3+bx﹣3(x>0),f(x),g(x)的导函数为f"(x),g"(x),且f"(0)=0,f"(﹣1)=﹣2,f(1)=g(1),f"(1)=g"(1). (1)求函数f(x),g(x)的解析式; (2)求F(x)=f(x)﹣g(x)的极小值; (3)是否存在实常数k和m,使得f(x)≥kx+m和g(x)≤kx+m?若存在,求出k和m的值;若不存在,说明理由. |
答案
解:(1)由已知得t=0,f"(x)=2mx+n, 则f"(0)=n=0,f"(﹣1)=﹣2m+n=﹣2, 从而n=0,m=1, ∴f(x)=x2,f"(x)=2x,g(x)=3ax2+b. 由f(1)=g(1),f"(1)=g"(1), 得a+b﹣3=1,3a+b=2, 解得a=﹣1,b=5. ∴g(x)=﹣x3+5x﹣3(x>0). (2)F(x)=f(x)﹣g(x)=x3+x2﹣5x+3(x>0), 求导数得F"(x)=3x2+2x﹣5=(x﹣1)(3x+5). ∴F(x)在(0,1)单调递减,在(1,+∞)单调递增, 从而F(x)的极小值为F(1)=0. (3)因f(x)与g(x)有一个公共点(1,1), 而函数f(x)在点(1,1)的切线方程为y=2x﹣1. 下面验证都成立即可. 由x2﹣2x+1≥0,得x2≥2x﹣1,知f(x)≥2x﹣1恒成立. 设h(x)=﹣x3+5x﹣3﹣(2x﹣1),即h(x)=﹣x3+3x﹣2(x>0), 求导数得h"(x)=﹣3x2+3=﹣3(x﹣1)(x+1)(x>0), ∴h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以h(x)=﹣x3+5x﹣3﹣(2x﹣1)的最大值为h(1)=0, 所以﹣x3+5x﹣3≤2x﹣1恒成立. 故存在这样的实常数k和m,且k=2,m=﹣1. |
举一反三
已知函数f(x)=lnx﹣,g(x)=f(x)+ax﹣6lnx,其中a∈R. (1)讨论f(x)的单调性; (2)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围; (3)设函数h(x)=x2﹣mx+4,当a=2时,若∈(0,1),x2∈[1,2],总有g()≥h(x2)成立,求实数m的取值范围. |
某商店经销一种奥运会纪念品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数,2≤a≤5 )的税收.设每件产品的售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40.元时,日销售量为10件. (1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值. |
已知函数f(x)=ax4lnx+bx4﹣c(x>0)在x=1处取得极值﹣3﹣c,其中a,b,c为常数. (1)试确定a,b的值; (2)求函数f(x)的单调增区间; (3)若对任意x>0,不等式f(x)≥﹣(c﹣1)4+(c﹣1)2﹣c+9恒成立,求c的取值范围. |
为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. (Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式. (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值. |
设m、t为实数,函数,f(x)的图象在点M(0,f(0))处的切线的斜率为1. (1)求实数m的值; (2)若对于任意x∈[﹣1,2],总存在t,使得不等式f(x)≤2t成立,求实数t的取值范围;设方程x2+2tx﹣1=0的两个实数根为a,b(a<b),若对于任意x∈[a,b],总存在x1、x2∈[a,b],使得f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,记g(t)=f(x2)﹣f(x1),当时,求实数t的值. |
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