已知函数f（x）=ax4lnx+bx4﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．（1）试确定a，b的值；（2）求函数f（x）的单调增区间；

题型：江苏省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=ax⁴lnx+bx⁴﹣c（x＞0）在x=1处取得极值﹣3﹣c，其中a，b，c为常数．
（1）试确定a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）若对任意x＞0，不等式f（x）≥﹣（c﹣1）⁴+（c﹣1）²﹣c+9恒成立，求c的取值范围．

答案

解：（1）由题意知f（1）=﹣3﹣c，
因此b﹣c=﹣3﹣c，
从而b=﹣3．
又对f（x）求导得f"（x）=4ax³lnx+ax⁴=x³（4alnx+a+4b）．
由题意f"（1）=0，
因此a+4b=0，解得a=12．
（2）由（1）知f"（x）=48x³lnx（x＞0），
令f"（x）＞0，解得x＞1．
因此f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．
（3）由（2）知，f（x）在x=1处取得极小值f（1）=﹣3﹣c，
此极小值也是最小值，要使f（x）≥﹣（c﹣1）⁴+（c﹣1）²﹣c+9（x＞0）恒成立，
即﹣3﹣c≥﹣（c﹣1）⁴+（c﹣1）²﹣c+9（x＞0）恒成立，
令t=（c﹣1）²（t≥0），则t≥4或t≤﹣3（舍）．
∴（c﹣1）²≥4，
解得c∈（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．