为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能
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为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能
题型:江苏省月考题
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为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=
(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和.
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式.
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值.
答案
解:(Ⅰ)设隔热层厚度为xcm,由题设,每年能源消耗费用为
.
再由C(0)=8,得k=40,
因此
.
而建造费用为C
1
(x)=6x,最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为
(Ⅱ)
,
令f"(x)=0,即
.
解得x=5,
(舍去).
当0<x<5时,f "(x)<0,
当5<x<10时,f "(x)>0,
故x=5是f(x)的最小值点,对应的最小值为
.
当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值为70万元.
举一反三
设m、t为实数,函数
,f(x)的图象在点M(0,f(0))处的切线的斜率为1.
(1)求实数m的值;
(2)若对于任意x∈[﹣1,2],总存在t,使得不等式f(x)≤2t成立,求实数t的取值范围;设方程x
2
+2tx﹣1=0的两个实数根为a,b(a<b),若对于任意x∈[a,b],总存在x
1
、x
2
∈[a,b],使得f(x
1
)≤f(x)≤f(x
2
)恒成立,记g(t)=f(x
2
)﹣f(x
1
),当
时,求实数t的值.
题型:江苏省月考题
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设函数f(x)=lnx+ln(2﹣x)+ax(a>0).
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间.
(2)若f(x)在(0,1]上的最大值为
,求a的值.
题型:安徽省期末题
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已知f(x)=xlnx,g(x)=﹣x
2
+ax﹣3.
(1)求函数f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值;
(2)对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,求实数a的取值范围;
(3)证明:对一切x∈(0,+∞),都有
成立.
题型:安徽省期末题
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已知函数
(a>0).
(I)当a=1时,求函数f(x)的单调区间;
(II)若不等式
对x∈R恒成立,求a的取值范围.
题型:北京市期末题
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设f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)与f(x)的图象关于直线x=1对称,若g(x)=a(x﹣2)﹣(x﹣2)
3
.
(1)求f(x)的解析式;
(2)当x=1时,f(x)取得极值,证明:对任意x
1
,x
2
∈
(﹣1,1),不等式|f(x
1
)﹣f(
x
2
)|<4恒成立;
(3)若f(x)是[1,+∞)上的单调函数,且当x
0
≥1,f(x
0
)≤1时,有f[f(x
0
)]=x
0
,求证:
f(x
0
)=x
0
.
题型:北京市期末题
难度:
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