世界大学生运动会圣火台如图所示，圣火盆是半径为1m的圆，并通过三根长度相等的金属支架PA1、PA2、PA3（A1、A2、A3是圆上的三等分点）将其水平放置，另一

题型：期末题难度：来源：

世界大学生运动会圣火台如图所示，圣火盆是半径为1m的圆，并通过三根长度相等的金属支架PA₁、PA₂、PA₃（A₁、A₂、A₃是圆上的三等分点）将其水平放置，另一根金属支架PQ垂直于地面，已知圣火盘的圆心O到地面的距离为

m，四根金属支架的总长度为ym．
（1）设∠OPA₃=θ（rad），请写出y关于θ的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）试确定点P的位置，使四根金属支架的总长度最短．（参考数值：

，其中α≈1.23）

答案

解：（1）由题意可知

，
由

，
可得

．
（2）

，
令y"=0可得

，
于是θ=α≈1.23
当

时，y"＜0；
当

时，y"＞0
故当

，即θ=α≈1.23时，

，
此时，点P到地面的距离

举一反三

附加题
已知函数f（x）=ln （ax+1）+

，其中a＞0．
（1）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（2）若f（x）的最小值为1，求a的取值范围．

题型：期末题难度：| 查看答案

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）若k∈Z，且

对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m≥4时，证明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

题型：期末题难度：| 查看答案

已知函数f（x）=﹣x³+3x²+9x+a（a为常数），在区间[﹣2，2]上有最大值20，那么此函数在区间[﹣2，2]上的最小值为（）．

题型：期末题难度：| 查看答案

已知函数f（x）=lnx，g（x）=

x²﹣bx（b为常数）．
（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；
（3）若b＞1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|＞|g（x₁）﹣g（x₂）|成立，求b的取值范围．

题型：期末题难度：| 查看答案

已知f（x）=ax﹣1nx，x∈（0，e]，g（x）=

，其中e是自然常数，a∈R．
（Ⅰ）当a=1时，研究f（x）的单调性与极值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：f（x）＞g（x）+

；
（Ⅲ）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

题型：江苏省月考题难度：| 查看答案