已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若k∈Z，且对任意x＞1恒成立，求k的最大值；

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已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线斜率为3．
（1）求实数a的值；
（2）若k∈Z，且对任意x＞1恒成立，求k的最大值；
（3）当n＞m≥4时，证明（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．

答案

（1）解：因为f（x）=ax+xlnx，所以f"（x）=a+lnx+1．
因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3，
所以f"（e）=3，即a+lne+1=3．所以a=1．
（2）解：由（1）知，f（x）=x+xlnx，所以对任意x＞1恒成立，即对任意x＞1恒成立．
令，则，
令h（x）=x﹣lnx﹣2（x＞1），则，
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．
因为h（3）=1﹣ln3＜0，h（4）=2﹣2ln2＞0，
所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈（3，4）．
当1＜x＜x₀时，h（x）＜0，即g"（x）＜0，
当x＞x₀时，h（x）＞0，即g"（x）＞0，
所以函数在（1，x₀）上单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增．
所以．
所以k＜[g（x）]_min=x₀∈（3，4）．故整数k的最大值是3．
（3）证明：由（2）知，是[4，+∞）上的增函数，
所以当n＞m≥4时，．
即n（m﹣1）（1+lnn）＞m（n﹣1）（1+lnm）．
整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n﹣m）．
因为n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．
即lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ．即ln（n^mnm^m）＞ln（m^mnnⁿ）．
所以（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ．