解:(1)由题意可得,当x<1时,f′(x)=﹣3x2+2x+b,f′(﹣1)=﹣3﹣2+b=b﹣5. 由( b﹣5 )( )=﹣1,可得b=0, 故 f(x)=﹣x3+x2+c.把点(﹣1,2)代入求得 c=0. 综上可得b=0,c=0. (2)由以上可得 ,当﹣1≤x<1时,f′(x)=﹣x(3x﹣2). 解f′(x)>0得0<x< .解f′(x)<0得1≥x> 或x<0. ∴f(x)在(﹣1,0)和( ,1)上单调递减,在(0, )上单调递增, 从而f(x)在x= 处取得极大值为f( )= . 又∵f(﹣1)=2,f(1)=0, ∴f(x)在[﹣1,1)上的最大值为2. 当1≤x≤e时,f(x)=alnx, 当a≤0时,f(x)≤0. 当a>0时,f(x)在[1,e]单调递增; ∴f(x)在[1,e]上的最大值为a. ∴a≥2时,f(x)在[﹣1,e]上的最大值为a; 当a<2时,f(x)在[﹣1,e]上的最大值为2. (3)设点P的横坐标为m(不妨设m>0), 则由题意可得点Q的横坐标为﹣m,且﹣m<0. 当0<m<1时,点P(m,﹣m3+m2),点 Q(﹣m,m3+m2), 由K0P·KOQ=﹣1,可得(﹣m2+m)(﹣m2﹣m)=﹣1,m无解. 当m≥1时,点P(m,alnm),点 Q(﹣m,m3+m2), 由K0P·KOQ=﹣1,可得 ·(﹣m2﹣m)=﹣1,即 alnm= . 由于a为正实数,故存在大于1的实数m,满足方程 alnm= . 故曲线y=f(x)上是否存在两点P,Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形, 且此三角形斜边中点在y轴上. |