（1）设函数f（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；（2）设正数满足=1，求证：≥﹣n．

题型：江苏期末题难度：来源：

（1）设函数f（x）=xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；
（2）设正数满足=1，求证：
≥﹣n．

答案

（1）解：对函数f（x）求导数：f"（x）=（xlnx）"+[（1﹣x）ln（1﹣x）]"=lnx﹣ln（1﹣x）．
于是．
当在区间是减函数，
当在区间是增函数．
所以时取得最小值，，
（2）用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，由（1）知命题成立．
（ii）假定当n=k时命题成立，即若正数，则．
当n=k+1时，若正数，
令．
则为正数，且．
由归纳假定知．
+lnx）≥x（﹣k）+xlnx，①同理，由可得
≥（1﹣x）（﹣k）+（1﹣x）n（1﹣x）．
②综合①、②两式
≥[x+（1﹣x）]（﹣k）+xlnx+（1﹣x）ln（1﹣x）≥﹣（k+1）．
即当n=k+1时命题也成立．根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立．