(1)解:对函数f(x)求导数:f"(x)=(xlnx)"+[(1﹣x)ln(1﹣x)]"=lnx﹣ln(1﹣x). 于是. 当在区间是减函数, 当在区间是增函数. 所以时取得最小值,, (2)用数学归纳法证明. (i)当n=1时,由(1)知命题成立. (ii)假定当n=k时命题成立,即若正数,则. 当n=k+1时,若正数, 令. 则为正数,且. 由归纳假定知. +lnx)≥x(﹣k)+xlnx,①同理,由可得 ≥(1﹣x)(﹣k)+(1﹣x)n(1﹣x). ②综合①、②两式 ≥[x+(1﹣x)](﹣k)+xlnx+(1﹣x)ln(1﹣x)≥﹣(k+1). 即当n=k+1时命题也成立.根据(i)、(ii)可知对一切正整数n命题成立. |