设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x﹣6y﹣7=0垂直,导函数f"(x)的最小值为﹣12.(Ⅰ)求a,
题型:山东省月考题难度:来源:
设函数f(x)=ax3+bx+c(a≠0)为奇函数,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线x﹣6y﹣7=0垂直,导函数f"(x)的最小值为﹣12. (Ⅰ)求a,b,c的值; (Ⅱ)求函数f(x)的单调递增区间,并求函数f(x)在[﹣1,3]上的最大值和最小值. |
答案
解:(Ⅰ)∵f(x)为奇函数, ∴f(﹣x)=﹣f(x)即﹣ax3﹣bx+c=﹣ax3﹣bx﹣c ∴c=0 ∵f"(x)=3ax2+b的最小值为﹣12 ∴b=﹣12 又直线x﹣6y﹣7=0的斜率为 因此,f"(1)=3a+b=﹣6 ∴a=2,b=﹣12,c=0. (Ⅱ)f(x)=2x3﹣12x.
, 列表如下:
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019073113-92499.png) 所以函数f(x)的单调增区间是 和![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019073114-42374.png) ∵f(﹣1)=10, ,f(3)=18 ∴f(x)在[﹣1,3]上的最大值是f(3)=18,最小值是 . |
举一反三
(1)设函数f(x)=xlnx+(1﹣x)ln(1﹣x)(0<x<1),求f(x)的最小值; (2)设正数 满足 =1,求证:
≥﹣n. |
设动直线x=m与函数f(x)=x3,g(x)=lnx的图象分别交于点M、N,则|MN|的最小值为 |
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A.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019073058-82048.png) B.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019073058-10665.png) C.![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019073058-72405.png) D.ln3﹣1 |
已知函数f(x)=axlnx图象上点(e,f(e))处的切线方程与直线y=2x平行(其中e=2.71828…),g(x)=x2﹣tx﹣2. (I)求函数f(x)的解析式; (II)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值; (III)对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围. |
已知a∈R,函数 。 (1)求f(x)的单调区间; (2)证明:当0≤x≤1时,f(x)+ >0。 |
如图,在直角坐标系xOy中,点P(1, )到抛物线C: =2px(P>0)的准线的距离为 。点M(t,1)是C上的定点,A,B是C上的两动点,且线段AB被直线OM平分。 |
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![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019073032-37264.png) |
(1)求p,t的值。 (2)求△ABP面积的最大值。 |
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