已知函数,f(x)=x2,g(x)=2eln(x>0)(e为自然对数的底数),它们的导数分别为f′(x)、g′(x).(1)当x>0时,求证:f′(x)+g′(

已知函数,f(x)=x2,g(x)=2eln(x>0)(e为自然对数的底数),它们的导数分别为f′(x)、g′(x).(1)当x>0时,求证:f′(x)+g′(

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已知函数,f(x)=x2,g(x)=2eln(x>0)(e为自然对数的底数),它们的导数分别为
f′(x)、g′(x).
(1)当x>0时,求证:f′(x)+g′(x)≥4
(2)求F(x)=f(x)﹣g(x)(x>0)的单调区间及最小值.
答案
解:(1)∵x>0,f′(x)=2x,g′(x)= 
∴f′(x)+g′(x)=2(x+ )≥2×2 =4 
当且仅当x= ,即x= 时,等号成立.
∴f′(x)+g′(x)≥4 
(2)F′(x)=f′(x)﹣g′(x)=2(x﹣ )= (x>0),
令F′(x)=0,得x= (x=﹣ 舍),
∴当0<x< 时,F′(x)<0,F(x)在(0, )上单调递减;
当x> 时,F′(x)>0,F(x)在( ,+∞)上单调递增.
∴当x= 时,F(x)有极小值,也是最小值,
即F(x)min=F( )=e﹣2eln =0.
∴F(x)的单调递增区间为( ,+∞),单调递减区间为(0, ),最小值为0
举一反三
某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业,第一批产品A上市销售40天内全部售完.该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图中一、二、三所示,其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系;图二中的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系;图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同).
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式;
(2)第一批产品A上市后的哪几天,这家公司的日销售利润超过6300万元?
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某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业,第一批产品A上市销售40天内全部售完.该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查,调查结果如图中一、二、三所示,其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系;图二中的抛物线表示的是国内市场的日销售量与上市时间的关系;图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同).
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t的关系式;
(2)第一批产品A上市后的哪几天,这家公司的日销售利润超过6300万元?
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已知函数f(x)=mx3+nx2的图象在点(﹣1,2)处的切线恰好与直线3x+y=0平行.
(1)求函数f(x)在[﹣4,0]的值域;
(2)若f(x)在区间[t,t+1]上单调递减,求实数t的取值范围.
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某著名景区新近开发一种旅游纪念品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向地方税务部门上交3元的税收.设每件纪念品的售价为x元(30≤x≤40),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知每件纪念品的售价为40元时,销售量为10件.
(1)求该景区的日利润L(x)元与每件纪念品的售价x元的函数关系式;
(2)当每件纪念品的售价为多少元时,该景区的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.
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设a为实数,函数f(x)=x|x2﹣a|.
(1)当a=1时,求函数f(x)在区间[﹣1,1]上的最大值和最小值;
(2)求函数f(x)的单调区间.
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