已知f′(x)是f(x)的导函数,f(x)=ln(x+1)+m﹣2f′(1),m∈R,且函数f(x)的图象过点(0,-2).(1)求函数y=f(x)的表达式;(
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已知f′(x)是f(x)的导函数,f(x)=ln(x+1)+m﹣2f′(1),m∈R,且函数f(x)的图象过点(0,-2).(1)求函数y=f(x)的表达式;(
题型:北京期中题
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已知f′(x)是f(x)的导函数,f(x)=ln(x+1)+m﹣2f′(1),m∈R,且函数f(x)的图象过点(0,-2).
(1)求函数y=f(x)的表达式;
(2)设
,若g(x)>0在定义域内恒成立,求实数a的取值范围.
答案
解:(1)由已知得
,
∴
又f(0)=﹣2
∴
∴m=﹣1,
∴f(x)=ln(x+1)﹣2.
(2)由(1)得
定义域为(﹣1,+∞),
∴
.
∵a≠0
令g"(x)=0得
①当a>0时
,
且在区间
上g′(x)>0,在区
上g′(x)<0.∴
处取得极小值,也是最小值.
∴
由a+a(﹣lna﹣2)>0得
.∴
.
②当a<0时
,
在区间(﹣1,+∞)上,g′(x)<0恒成立.
g(x)在区间(﹣1,+∞)上单调递减,没有最值
综上得,a的取值范围是
.
举一反三
设函数
.
(1)若a=0,求f(x)在(0,m](m>0)上的最大值g(m).
(2)若f(x)在区间[1,2]上为减函数,求a的取值范围.
(3)若直线y=x为函数f(x)的图象的一条切线,求a的值.
题型:湖北省模拟题
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(2)若a=1,且x=6时,y取得最小值,试求b的值.
题型:湖南省模拟题
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已知定义在正实数集上的函数f(x)=
x
2
+2ax,g(x)=3a
2
lnx+b,其中a>0.
设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同.
(1)用a表示b,并求b的最大值;
(2)求F(x)=f(x)﹣g(x)的极值
题型:吉林省模拟题
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如图,已知M是函数y=4﹣x
2
(1<x<2)的图象C上一点,过M点作曲线C的切线与x轴、y轴分别交于点A,B,O是坐标原点,求△AOB面积的最小值.
题型:广东省模拟题
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已知函数f(x)=﹣
.
(Ⅰ)当a=
时,求函数f(x)在[﹣2,2]上的最大值、最小值;
(Ⅱ)令g(x)=ln(x+1)+3﹣f′(x),若g(x)在(﹣
)上单调递增,求实数a的取值范围.
题型:山东省模拟题
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