某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格.销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x(单位:元,0≤x≤30)的平方成
题型:河南省模拟题难度:来源:
某商品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格.销售量可以增加,且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低销x(单位:元,0≤x≤30)的平方成正比.已知商品单价降低2元时,一星期多卖出24件. (Ⅰ)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数; (Ⅱ)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大? |
答案
解:(Ⅰ)设商品降价x元,则多卖的商品数为kx2, 若记商品在一个星期的获利为f(x), 则依题意有f(x)=(30﹣x﹣9)(432+kx2)=(21﹣x)(432+kx2), 又由已知条件,24=k22,于是有k=6, 所以f(x)=﹣6x3+126x2﹣432x+9072,x∈[0,30]. (Ⅱ)根据(Ⅰ),我们有f "(x)=﹣18x2+252x﹣432=﹣18(x﹣2)(x﹣12).
∴当x=12时,f(x)达到极大值. 因为f(0)=9072,f(12)=11264, 所以定价为30﹣12=18元能使一个星期的商品销售利润最大. |
举一反三
已知函数f(x)=﹣x2+ax﹣lnx(a∈R). (1)当a=3时,求函数f(x)在上的最大值; (2)当函数f(x)在单调时,求a的取值范围. |
已知f′(x)是f(x)的导函数,f(x)=ln(x+1)+m﹣2f′(1),m∈R,且函数f(x)的图象过点(0,-2). (1)求函数y=f(x)的表达式; (2)设,若g(x)>0在定义域内恒成立,求实数a的取值范围. |
设函数. (1)若a=0,求f(x)在(0,m](m>0)上的最大值g(m). (2)若f(x)在区间[1,2]上为减函数,求a的取值范围. (3)若直线y=x为函数f(x)的图象的一条切线,求a的值. |
据环保部门测定,某处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源距离的平方成反比,比例常数为k(k>0).现已知相距18km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和.设AC=x(km). (1)试将y表示为x的函数; (2)若a=1,且x=6时,y取得最小值,试求b的值. |
已知定义在正实数集上的函数f(x)=x2+2ax,g(x)=3a2lnx+b,其中a>0. 设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同. (1)用a表示b,并求b的最大值; (2)求F(x)=f(x)﹣g(x)的极值 |
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