已知函数f（x）=x3﹣3ax2﹣9a2x+a3．（1）设a=1，求函数f（x）的极值；（2）若，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，试确定a

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已知函数f（x）=x³﹣3ax²﹣9a²x+a³．
（1）设a=1，求函数f（x）的极值；
（2）若

，且当x∈[1，4a]时，|f′（x）|≤12a恒成立，试确定a的取值范围．

答案

解：（1）当a=1时，对函数f（x）求导数，得f′（x）=3x²﹣6x﹣9．
令f′（x）=0，解得x₁=﹣1，x₂=3．
列表讨论f（x），f′（x）的变化情况：

举一反三

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已知a＞0，函数f（x）=lnx﹣ax²，x＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若存在均属于区间[1，3]的α，β，且β﹣α≥1，使f（α）=f（β）证明：

．

已知函数f（x）=x²﹣alnx在（1，2]是增函数，

在（0，1）为减函数．
（1）求f（x）、g（x）的表达式；
（2）求证：当x＞0时，方程f（x）=g（x）+2有唯一解；
（3）当b＞﹣1时，若

在x∈（0，1]内恒成立，求b的取值范围．

已知在函数f（x）=mx³﹣x的图象上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

．
（1）求m、n的值；
（2）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k﹣1995对于x∈[﹣1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由．

已知函数f（x）=

，g（x）=alnx，a∈R．
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
（2）设函数h（x）=f（x）﹣g（x），当h（x）存在最小值时，求其最小值φ（a）的解析式；
（3）对（2）中的φ（a），证明：当a∈（0，+∞）时，φ（a）≤1．

函数

上的最大值是（）