已知a>0,函数f(x)=lnx﹣ax2,x>0.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若存在均属于区间[1,3]的α,β,且β﹣α≥1,使f(α)=f(β)证明:
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已知a>0,函数f(x)=lnx﹣ax2,x>0.(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)若存在均属于区间[1,3]的α,β,且β﹣α≥1,使f(α)=f(β)证明:
题型:湖南省月考题
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来源:
已知a>0,函数f(x)=lnx﹣ax
2
,x>0.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若存在均属于区间[1,3]的α,β,且β﹣α≥1,使f(α)=f(β)证明:
.
答案
(I)解:
,
令f′(x)=0,解得x=
,
当x变化时,f"(x),f(x)的变化情况如下表:
所以,f(x)的单调递增区间是
的单调递减区间是
.
(II)证明:由f(α)=f(β)及(I)的结论知 ,
从而f(x)在[α,β]上的最小值为f(a).
又由β﹣α≥1,α,β∈[1,3],
知1≤α≤2≤β≤3.
故
,即
从而,
举一反三
已知函数f(x)=x
2
﹣alnx在(1,2]是增函数,
在(0,1)为减函数.
(1)求f(x)、g(x)的表达式;
(2)求证:当x>0时,方程f(x)=g(x)+2有唯一解;
(3)当b>﹣1时,若
在x∈(0,1]内恒成立,求b的取值范围.
题型:湖南省月考题
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已知在函数f(x)=mx
3
﹣x的图象上以N(1,n)为切点的切线的倾斜角为
.
(1)求m、n的值;
(2)是否存在最小的正整数k,使得不等式f(x)≤k﹣1995对于x∈[﹣1,3]恒成立?如果存在,请求出最小的正整数k;如果不存在,请说明理由.
题型:湖南省月考题
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已知函数f(x)=
,g(x)=alnx,a∈R.
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值及该切线的方程;
(2)设函数h(x)=f(x)﹣g(x),当h(x)存在最小值时,求其最小值φ(a)的解析式;
(3)对(2)中的φ(a),证明:当a∈(0,+∞)时,φ(a)≤1.
题型:湖南省月考题
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函数
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题型:江西省月考题
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