设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f"（x）的图象经过点，如图所示，（1）求f（x）的解析式；（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥

题型：广东省月考题难度：来源：

设f（x）=ax³+bx²+cx的极小值为﹣8，其导函数y=f"（x）的图象经过点，如图所示，
（1）求f（x）的解析式；
（2）若对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m²﹣14m恒成立，求实数m的取值范围．

答案

解：（1）∵f"（x）=3ax²+2bx+c，且y=f"（x）的图象经过点（﹣2，0），，
∴
∴f（x）=ax³+2ax²﹣4ax，
由图象可知函数y=f（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
由f（x）_极小值=f（﹣2）=a（﹣2）³+2a（﹣2）²﹣4a（﹣2）=﹣8，解得a=﹣1
∴f（x）=﹣x³﹣2x²+4x
（2）要使对x∈[﹣3，3]都有f（x）≥m²﹣14m恒成立，
只需f（x）_min≥m²﹣14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[﹣3，2）上单调递减，在上单调递增，在上单调递减
且f（﹣2）=﹣8，f（3）=﹣3³﹣2×3²+4×3=﹣33＜﹣8
∴f（x）_min=f（3）=﹣33
﹣33≥m²-14m?3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．