某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对角线在l上的四边形电气线路,如图所示。为充分利用现有材料,边BC,CD用一根5米长的材料弯折而成,边BA,A

某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对角线在l上的四边形电气线路,如图所示。为充分利用现有材料,边BC,CD用一根5米长的材料弯折而成,边BA,A

题型:安徽省模拟题难度:来源:
某单位设计一个展览沙盘,现欲在沙盘平面内,布设一个对角线在l上的四边形电气线路,如图所示。为充分利用现有材料,边BC,CD用一根5米长的材料弯折而成,边BA,AD用一根9米长的材料弯折而成,要求∠A和∠C互补,且AB=BC,
(1)设AB=x米,cosA=f(x),求f(x)的解析式,并指出x的取值范围;
(2)求四边形ABCD面积的最大值。
答案
解:(1)在△ABD中,
由余弦定理得BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cosA,
同理,在△CBD中,BD2=CB2+CD2-2CB·CD·cosC,
因为∠A和∠C互补,
所以AB2+AD2-2AB·AD·cosA=CB2+CD2-2CB·CD·cosC
=CB2+CD2+2CB·CD·cosA,
即x2+(9-x)2-2x(9-x)cosA=x2+(5-x)2+2x(5-x)cosA,
解得cosA=
即f(x)=,其中x∈(2,5)。
(2)四边形ABCD的面积S=(AB·AD+ CB·CD)sinA
[x(5-x)+x(9-x)]
=x(7-x)
记g(x)=(x2-4)(x2-14x+49),x∈(2,5),
由g′(x)=2x(x2-14x+49)+(x2-4)(2x-14)
=2(x-7)(2x2-7 x-4)=0,
解得x=4(x=7和x=舍),     
所以函数g(x)在区间(2,4)内单调递增,在区间(4,5)内单调递减,
因此g(x)的最大值为g(4)=12×9=108,
所以S的最大值为
答:所求四边形ABCD面积的最大值为6m2
举一反三
济南市“两会”召开前,某政协委员针对自己提出的“环保提案”对某处的环境状况进行了实地调研。据测定,该处的污染指数与附近污染源的强度成正比,与到污染源的距离成反比,比例常数为k(k>0)。现已知相距36km的A,B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为正数a,b,它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和。设AC=x(km),
(Ⅰ)试将y表示为x的函数;
(Ⅱ)若a=1时,y在x=6处取得最小值,试求b的值。
题型:山东省模拟题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=alnx+x2,g(x)=(a+1)x-4,
(Ⅰ)当a=-2时,求函数f(x)在(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)是否存在实数a(a>1),使得对任意的x∈,恒有f(x)<g(x)成立?若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,请说明理由。
注:e为自然对数的底数
题型:浙江省模拟题难度:| 查看答案
已知关于n的不等式2n2-n-3<(5-λ)(n+1)2n对任意n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是(    )。
题型:浙江省模拟题难度:| 查看答案

设函数f(x)=alnx-bx2(x>0)。
(1)若函数f(x)在x=1处与直线y=相切,
①求实数,b的值;
②求函数f(x)在[,e]上的最大值;
(2)当b=0时,若不等式f(x)≥m+x对所有的a∈[0,],x∈(1,e2]都成立,求实数m的取值范围。


题型:陕西省模拟题难度:| 查看答案
已知函数
(Ⅰ)求f(x)的极值;
(Ⅱ)若函数f(x)的图象与函数g(x)=1的图象在区间上有公共点,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)设各项为正的数列{an}满足:a1=1,an+1=lnan+an+2,n∈N*,求证:an≤2n-1。
题型:陕西省模拟题难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.