已知函数f（x）=x3+mx2+nx+m-1，当x=-1时取得极值，且函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4，（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）O

题型：贵州省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=x³+mx²+nx+m-1，当x=-1时取得极值，且函数y=f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率为4，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）O是坐标原点，A点是x轴上横坐标为2的点，B点是曲线y=f（x）上但不在轴上的动点，求△AOB面积的最大值。

答案

解：（Ⅰ）由已知得，
由已知得，  
故。
 （Ⅱ）由（Ⅰ）得，
知f（x）在上为减函数，在上为增函数， 
要使△OAB的面积最大，由O、A两点在x轴上且|OA|=2知，
只需在上，的值最大，
由f（x）在区间上的单调性知，
只有当或时，的值最大，
而， 
故当时，△AOB的面积最大，且最大值为。