已知函数f（x）=x2+alnx。（1）当a=-2e时，求函数的单调区间和极值；（2）若函数g（x）=f（x）+在[1，4]上是减函数，求a的取值范围。

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已知函数f（x）=x²+alnx。
（1）当a=-2e时，求函数的单调区间和极值；
（2）若函数g（x）=f（x）+在[1，4]上是减函数，求a的取值范围。

答案

解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当a=-2e 时，
当x变化时，f′（x）， f（x）变化情况如下表：

由上表可以看出，函数f（x）在上单调递减，在（，+∞）上单调递增，极小值为；
（2）由g（x）=x²+alnx+，得g′（x）=
又函数g（x）在[1，4]上是减函数，则g′（x）≤0在[1，4]上恒成立，
所以不等式在[1，4]上恒成立，
即2x²在[1，4]上恒成立，
又在[1，4]上为减函数，
所以ω（x）的最小值为，
所以。