已知函数f（x）=x2e-ax（a>0），求函数在[1，2]上的最大值。

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已知函数f（x）=x²e^-ax（a>0），求函数在[1，2]上的最大值。

答案

解：∵f（x）=x²e^-ax（a>0），
∴f′（x）=2xe^-ax+x²（-a）e^-ax=e^-ax（-ax²+2x），
令f′（x）>0，即e^-ax（-ax²+2x）>0，得
∴f（x）在（-∞，0），上是减函数，在上是增函数，
当，即a>2时，f（x）在（1，2）上是减函数，
∴f（x）_max=f（1）=e^-a，
当，即1≤a≤2时，f（x）在上是增函数，在上是减函数，
∴
当，即0＜a＜1时，f（x）在（1，2）上是增函数，
∴f（x）_max=f（2）=4e^-2a，
综合所述，当0＜a＜1时，f（x）的最大值为4e^-2a；
当1≤a≤2时。f（x）的最大值为，
当a>2时，f（x）的最大值为e^-a，