已知球的直径为d，求其内接正四棱柱体积的最大值以及此时正四棱柱的高。

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答案

解：设正四棱柱的底边长为x，高为h，
由于

，
∴

，
∴球内接正四棱柱的体积为

，
由

，

由上表可知，正四棱柱体积的在（0，h）上有唯一的极大值

，
故其最大值为

，此时高为

。

举一反三

已知函数f（x）=ax+

且a＞0，
（Ⅰ）若曲线f（x）在（1，f（1））处的切线与y=x平行，求实数a的值；
（Ⅱ）若x∈(0，2]，求函数f（x）的最小值；
（Ⅲ）设函数g（x）=

+lnx，若f（x）与g（x）的图象在区间（1，e²）上有两个不同的交点，求实数a的取值范围。

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设函数f（x）=lnx-

ax²-bx，
（1）当a=b=

时，求f（x）的最大值；
（2）令F（x）=f（x）+

ax²+bx+

，（0＜x≤3），其图象上任意一点P（x₀，y₀）处切线的斜率k≤

恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当a=0，b=-1，方程2mf（x）=x²有唯一实数解，求正数m的值。

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某单位建造一间地面面积为12m²的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m²，房屋侧面的造价为150元/m²，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用，
（1）把房屋总造价y表示成x的函数，并写出该函数的定义域；
（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？最低总造价是多少？

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已知函数f（x）=x²-alnx在(1，2]是增函数，g（x）=x-a

在（0，1）为减函数，
（1）求a的值；
（2）设函数φ（x）=2bx-

是区间(0，1]上的增函数，且对于(0，1]内的任意两个变量s、t，f（s）≥φ（t）恒成立，求实数b的取值范围；
（3）设h（x）=f′（x）-g（x）-

，求证：[h（x）]ⁿ+2≥h（xⁿ）+2ⁿ（n∈N*）。

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已知在函数f（x）=mx³-x的图像上以N（1，n）为切点的切线的倾斜角为

，
（Ⅰ）求m，n的值；
（Ⅱ）若方程f（x）=a有三个不同实根，求a的取值范围；
（Ⅲ）是否存在最小的正整数k，使得不等式f（x）≤k-2011，对x∈[-1，3]恒成立？如果存在，请求出最小的正整数k；如果不存在，请说明理由。

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