已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex,(Ⅰ)当x为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论;(Ⅱ)设f(x)在[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围
题型:高考真题难度:来源:
已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)ex, (Ⅰ)当x为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论; (Ⅱ)设f(x)在[-1,1]上是单调函数,求a的取值范围。 |
答案
解:(Ⅰ)令f′(x)=0,即[x2-2(a-1)x-2a]ex=0, ∴x2-2(a-1)x-2a=0, ∵△=[2(a-1)]2+8a=4(a2+1)>0, ∴x1=,x2=, 又∵当x∈(-∞,)时,f′(x)>0; 当x∈(,)时,f′(x)<0; 当x∈(,+∞)时,f′(x)>0, 列表:
∴x1,x2分别为f (x)的极大值与极小值点, 又∵;当x→+∞时,f (x)→+∞, 而, ∴当x=时,f (x)取得最小值。 (Ⅱ)f (x)在[-1,1]上单调,则f′(x)≥0(或≤0)在[-1,1]上恒成立, 而f′(x)=[x2-2(a-1)x-2a]ex, 令g(x)= x2-2(a-1)x-2a=[x-(a-1)]2-(a2+1), ∴f′(x)≥0(或≤0)即g(x)≥0(或≤0), 当g(x)≥0在[-1,1]上恒成立时,有 ①当-1≤a-1≤1即0≤a≤2时,g(x)min=g(a-1)=-(a2+1)≥0(舍); ②当a-1>1即a≥2时,g(x)min=g(1)=3-4a≥0,∴a≤(舍); 当g(x)≤0在[-1,1]上恒成立时,有 ①当-1≤a-1≤0即0≤a≤1时,g(x)max=g(1)=3-4a ≤0,∴≤a≤1; ②当0<a-1≤1即1<a≤2时,g(x)max=g(-1)=-1≤0,∴1<a≤2; ③当1<a-1即a>2时,g(x)max=g(-1)=-1≤0,∴a>2; 故a∈[,+∞) 。 |
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