已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函数f(x)的最大值;(2)设0<a<b,证明:0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)l
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已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函数f(x)的最大值;(2)设0<a<b,证明:0<g(a)+g(b)-2g()<(b-a)l
题型:高考真题
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已知函数f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(1)求函数f(x)的最大值;
(2)设0<a<b,证明:0<g(a)+g(b)-2g(
)<(b-a)ln2。
答案
(Ⅰ)解:函数f(x)的定义域是(-1,+∞),
,
令f′(x)=0,解得x=0,
当-1<x<0时,f′(x)>0,当x>0时,f′(x)<0,
又f(0)=0,故当且仅当x=0时,f(x)取得最大值,最大值是0。
(Ⅱ)证明:g(a)+g(b)-2g(
)=alna+blnb-(a+b)ln
=
,
由(Ⅰ)的结论知ln(1+x)-x<0(x>-1,且x≠0),
由题设0<a<b,得
,
因此
,
所以
,
又
,
,
综上0<g(a)+g(b)-2g(
)<(b-a)ln2。
举一反三
求函数f(x)=ln(1+x)-
在[0,2]上的最大值和最小值。
题型:高考真题
难度:
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某商店经销一种世博纪念品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上缴5元的税收,设每件产品的日售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与e
x
(e为自然对数底数)成反比例,已知每件产品的日售价为40元时,日销售量为10件,
(Ⅰ)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;
(Ⅱ)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值。
题型:专项题
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|
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某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处,已知AB=AC=6km,现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站。记P到三个村庄的距离之和为y,
(Ⅰ)若∠PBO=α,把y表示成α的函数关系式;
(Ⅱ)变电站建于何处时,它到三个村庄的距离之和最小?
题型:专项题
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已知f(x)=ax
3
-2ax
2
+b(a≠0)。
(1)求出f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间[-2,1]上最大值是5,最小值是-11,求f(x)的解析式。
题型:黑龙江省模拟题
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已知函数f(x)=ax
2
-3x+4+2lnx(a>0)。
(1)当
时,求函数f(x)在
上的最大值;
(2)若f(x)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围。
题型:浙江省模拟题
难度:
|
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