某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处,已知AB=AC=6km,现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站。记P到三个村庄的距离之和为y,
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某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处,已知AB=AC=6km,现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站。记P到三个村庄的距离之和为y,
题型:专项题
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某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处,已知AB=AC=6km,现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个变电站。记P到三个村庄的距离之和为y,
(Ⅰ)若∠PBO=α,把y表示成α的函数关系式;
(Ⅱ)变电站建于何处时,它到三个村庄的距离之和最小?
答案
解:(Ⅰ)在Rt△AOB中,AB=6,所以OB=OA=
,
所以
,
由题意知
,
所以点P到A,B,C的距离之和为
,
故所求函数关系式为
。
(Ⅱ)由(Ⅰ),得y′=
,
令y′ =0,即
,
又
,从而
,
当
时,y′<0;当
时,y′>0,
所以当
时,
取得最小值,
此时
(km),
即点P在OA上距O点
km处,
答:变电站建于距O点
km处时,它到三个村庄的距离之和最小。
举一反三
已知f(x)=ax
3
-2ax
2
+b(a≠0)。
(1)求出f(x)的极值;
(2)若f(x)在区间[-2,1]上最大值是5,最小值是-11,求f(x)的解析式。
题型:黑龙江省模拟题
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已知函数f(x)=ax
2
-3x+4+2lnx(a>0)。
(1)当
时,求函数f(x)在
上的最大值;
(2)若f(x)在定义域上是增函数,求实数a的取值范围。
题型:浙江省模拟题
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已知f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx。
(1)求f(x)的解析式;
(2)是否存在负实数a,使得当x∈[-e,0)时,函数f(x)的最小值为3?
题型:陕西省模拟题
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已知函数f(x)=x
3
-ax,
(Ⅰ)当a=3时,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;
(Ⅱ)已知函数g(x)=ax(|x+a|-1),记h(x)=f(x)-g(x)(x∈[0,2]),当函数h(x)的最大值为0时,求实数a的取值范围。
题型:浙江省模拟题
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(Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式;
(Ⅱ)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
题型:湖南省高考真题
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