已知f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx。(1)求f(x)的解析式; (2)是否存在负实数a,使得当x
题型:陕西省模拟题难度:来源:
已知f(x)是定义在[-e,0)∪(0,e]上的奇函数,当x∈(0,e]时,f(x)=ax+lnx。 (1)求f(x)的解析式; (2)是否存在负实数a,使得当x∈[-e,0)时,函数f(x)的最小值为3? |
答案
解:(1)设x∈[-e,0),则-x∈(0,e] ∵f(x)是奇函数, ∴f(x)=-f(-x)=-[a(-x)+ln(-x)] =ax-ln(-x) 故。 (2)假设存在负实数a使得当x∈[-e,0)时,f(x)=ax-ln(-x)最小值是3, 则由f"(x),知 ①当,即时,由x∈[-e,0)得f"(x)≥0, 此时函数f(x)=ax-ln(-x)递增, 所以f(x)min=f(-e)=-ae- 1=3 解得(舍去); ②当,即时, 则当时,f"(x)≤0,函数f(x)=ax-ln(-x)递减; 当时,f"(x)>0,函数f(x)=ax-ln(-x)递增 所以,函数当x∈[-e,0)时, ,解得a=-e2 综上可知,存在实数a=-e2,使得当x∈[-e,0)时,函数f(x)有最小值是3。 |
举一反三
已知函数f(x)=x3-ax, (Ⅰ)当a=3时,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值; (Ⅱ)已知函数g(x)=ax(|x+a|-1),记h(x)=f(x)-g(x)(x∈[0,2]),当函数h(x)的最大值为0时,求实数a的取值范围。 |
某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元, (Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式; (Ⅱ)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小? |
设函数f(x)=x(x-1)+m,g(x)=lnx, (Ⅰ)当m≥0时,求函数y=f(x)在[0,m]上的最大值; (Ⅱ)记函数p(x)=f(x)-g(x),若函数p(x)有零点,求m的取值范围。 |
已知函数f(x)=ax-lnx(a为常数), (1)当a=1时,求函数f(x)的最小值; (2)求函数f(x)在[1,+∞)上的最值; (3)试证明对任意的n∈N*都有ln(1+)n<1。 |
设m∈R,函数f(x)=x3-mx在x=1处取得极值,求: (Ⅰ)m的值; (Ⅱ)函数y=f(x)在区间上的最大值和最小值。 |
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