已知函数f(x)=x3-ax, (Ⅰ)当a=3时,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值;(Ⅱ)已知函数g(x)=ax(|x+a|-1),记h(x)=f(x
题型:浙江省模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=x3-ax, (Ⅰ)当a=3时,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值; (Ⅱ)已知函数g(x)=ax(|x+a|-1),记h(x)=f(x)-g(x)(x∈[0,2]),当函数h(x)的最大值为0时,求实数a的取值范围。 |
答案
解:(Ⅰ)∵f(x)=x3-3x, ∴f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1), ∵f′(x)>0x>1或x<-1,且x∈[-2,2], ∴函数f(x)在[-2,-1]上递增,[-1,1]上递减,[1,2]上递增, ∵f(-2)=f(1)=-2, ∴fmin(x)=-2, ∵f(0)=-2,而f(2)=2, ∴fmax(x)=2; (Ⅱ)h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax|x+a|(x∈[0,2]), (1)当a≤0时,h(x)=x3-ax|x+a|≥0, ∵h(0)=0,且0<x≤2时h(x)>0,显然不符合题设; (2)当a>0时,∵x≥0,h(x)=x3-ax2-a2x, ∴h′(x)=3x2-2ax-a2=(x-a)(3x+a), ∵x≥0, ∴h′(x)>0x>a, ①当a≥2时,必有h′(x)≤0, ∴h(x)在[0,2]上单调递减,则最大值为h(0)=0,满足题设; ②当0<a<2时,∵h′(x)>0x>a, ∴h(x)在[0,a]上单调递减,(a,2]上单调递增, 则h(x)max=max(h(0),h(2)), ∵h(0)=0,只需h(2)≤0,即8-4a-2a2≤0, 解得, ∴; 综上得,所求实数a的取值范围是。 |
举一反三
某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩,经预测,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元, (Ⅰ)试写出y关于x的函数关系式; (Ⅱ)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小? |
设函数f(x)=x(x-1)+m,g(x)=lnx, (Ⅰ)当m≥0时,求函数y=f(x)在[0,m]上的最大值; (Ⅱ)记函数p(x)=f(x)-g(x),若函数p(x)有零点,求m的取值范围。 |
已知函数f(x)=ax-lnx(a为常数), (1)当a=1时,求函数f(x)的最小值; (2)求函数f(x)在[1,+∞)上的最值; (3)试证明对任意的n∈N*都有ln(1+)n<1。 |
设m∈R,函数f(x)=x3-mx在x=1处取得极值,求: (Ⅰ)m的值; (Ⅱ)函数y=f(x)在区间上的最大值和最小值。 |
已知函数f(x)=xlnx, (Ⅰ)求f(x)的最小值; (Ⅱ)若对所有x≥1都有f(x)≥ax-1,求实数a的取值范围。 |
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