已知函数f（x）=xlnx，（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围。

题型：北京期末题难度：来源：

已知函数f（x）=xlnx，
（Ⅰ）求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若对所有x≥1都有f（x）≥ax-1，求实数a的取值范围。

答案

解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），
f（x）的导数f′（x）=1+lnx，
令f′（x）＞0，解得；令f′（x）＜0，解得，
从而f（x）在单调递减，在单调递增，
所以，当时，f（x）取得最小值；
（Ⅱ）依题意，得在[1，+∞)上恒成立，
即不等式对于x∈[1，+∞)恒成立，
令，
则，
当x＞1时，因为，
故g（x）是（1，+∞）上的增函数，
所以g（x）的最小值是g（1）=1，
从而a的取值范围是(-∞，1]。