已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R),(1)当a=-4时,求f(x)的最小值;(2)若函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数,求实数a的取值范围;
题型:江西省模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=x2+2x+alnx(a∈R), (1)当a=-4时,求f(x)的最小值; (2)若函数f(x)在区间(0,1)上为单调函数,求实数a的取值范围; (3)当t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3恒成立,求实数a的取值范围. |
答案
解:(1)f(x)=x2+2x-41nx(x>0),f′(x)=2x+2- , 当x>1时,f′(x)>0,当0<x<1时,f′(x)<0, ∴f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, ∴f(x)min=f(1)=3. (2) , 若f(x)在(0,1)上单调递增,则2x2+2x+a≥0在x∈(0,1)上恒成立
在x∈(0,1)上恒成立, 令u=-2x2-2x,x∈(0,1),则 , , ∴a≥0; 若f(x)在(0,1)上单调递减,则2x2+2x+a≤0在x∈(0,1)上恒成立 ; 综上,a的取值范围是(-∞,-4]∪[0,+∞). (3)(2t-1)2+2(2t-1)+aln(2t-1)≥2t2+4t+2alnt-3恒成立, a[ln(2t-1)-21nt]≥-2t2+4t-2 a[ln(2t-1)-lnt2]≥2[(2t-1)-t2], 当t=1时,不等式显然成立; 当t>1时,t2-(2t-1)=t2-2t+1=(t-1)2>0 t2>2t-1 lnt2>ln(2t-1)
在t>1时恒成立, 令 ,即求u的最小值, 设A(t2,lnt2),B(2t-1,ln(2t-1)), , 且A、B两点在y=lnx的图象上, 又∵t2>1,2t-1>1, 故0<kAB< , ∴ ,故a≤2, 即实数a的取值范围为(-∞,2]。 |
举一反三
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