如图,在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A、B在直径上,点C、D在圆周上,(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积
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如图,在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A、B在直径上,点C、D在圆周上,(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积
题型:江苏模拟题
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如图,在半径为30 cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A、B在直径上,点C、D在圆周上,
(1)怎样截取才能使截得的矩形ABCD的面积最大?并求最大面积;
(2)若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子体积最大?并求最大体积.
答案
解:如图,
(1):连接OC,设BC=x,矩形ABCD的面积为S,
则
,其中0<x<30,
所以,
,
当且仅当x
2
=900-x
2
,即x=
时,S取最大值900cm
2
,
答:取BC为
cm时,矩形ABCD的面积最大,最大值为900 cm
2
.
(2)设圆柱底面半径为r,高为x,体积为V,
由
,得
,
所以
,其中0<x<30,
由
,得x=
,
因此
在(0,
)上是增函数,
在(
,30)上是减函数,
所以当x=
时,V取得最大值
,
答:取BC为
cm时,做出的圆柱形罐子体积最大,
最大值为
cm
3
.
举一反三
已知a∈R,函数f(x)=x
2
(x-a)。
(1)当a=3时,求f(x)的零点;
(2)求函数y=f(x)在区间[1,2]上的最小值。
题型:专项题
难度:
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已知点M(1,y)在抛物线C:y
2
=2px(p>0)上,M点到抛物线C的焦点F的距离为2,直线l:y=-
x+b与抛物线C交于A,B两点,
(1)求抛物线C的方程;
(2)若以AB为直径的圆与x轴相切,求该圆的方程;
(3)若直线l与y轴负半轴相交,求△AOB面积的最大值.
题型:北京期末题
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已知函数f(x)=
ax
2
-(2a+1)x+2lnx(a∈R),
(1)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(2)求f(x)的单调区间;
(3)设g(x)=x
2
-2x,若对任意x
1
∈(0,2],均存在x
2
∈(0,2],使得f(x
1
)<g(x
2
),求a的取值范围。
题型:北京期末题
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常数a≥0,函数f(x)=x-ln
2
x+2alnx-1。
(1)令g(x)=xf"(x)(x>0),求g(x)的最小值并比较g(x)的最小值与0的大小;
(2)证明:当x>1时,恒有x>ln
2
x-2alnx+1。
题型:安徽省模拟题
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题型:河北省期末题
难度:
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