设函数f(x)=x3+ax2+bx在点x=1处有极值-2.(1)求常数a,b的值;(2)求曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积.
题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=x3+ax2+bx在点x=1处有极值-2. (1)求常数a,b的值; (2)求曲线y=f(x)与x轴所围成的图形的面积. |
答案
(1)a=0,b=-3(2)![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019095244-13017.gif) |
解析
(1)由题意知f′(x)=3x2+2ax+b,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019095244-81519.gif) f(1)=-2且f′(1)=0, 即 ,解得a=0,b=-3, 即f(x)=x3-3x. (2)作出曲线y=x3-3x的草图,所求面积为阴影部分的面积,由x3-3x=0得曲线y=x3-3x与x轴的交点坐标是(- ,0),(0,0)和( ,0),而y=x3-3x是R上的奇函数,函数图象关于原点中心对称. 所以(- ,0)的阴影面积与(0, )的阴影面积相等. 所以所求图形的面积为 S=2 [0-(x3-3x)]dx =-2( x4- x2)| = . |
举一反三
如图所示,抛物线y=4-x2与直线y=3x的两交点为A、B,点P在抛物线上从A向B运动.
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191019/20191019095237-43778.gif) (1)求使△PAB的面积最大的P点的坐标(a,b); (2)证明由抛物线与线段AB围成的图形,被直线x=a分为面积相等的两部分. |
在区间[0,1]上给定曲线y=x2,试在此区间内确定点t的值,使图中阴影部分的面积S1与S2之和最小. |
设p:y=(x2-4)(x-a)在(-∞,-2)和(2,+∞)上是单调增函数;q:不等式 (2t-2)dt>a的解集为R.如果p与q有且只有一个正确,求a的取值范围. |
(16分)已知A(-1,2)为抛物线C:y=2x2上的点,直线l1过点A且与抛物线C相切,直线l2:x=a(a<-1)交抛物线C 于点B,交直线l1于点D. (1)求直线l1的方程; (2)求△ABD的面积S1; (3)求由抛物线C及直线l1和直线l2所围成的图形面积S2. |
求 (cosx+ex)dx. |
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