已知曲线C:y=x3-3x2,直线l:y=-2x(1)求曲线C与直线l围成的区域的面积;(2)求曲线y=x3-3x2(0≤x≤1)与直线l围成的图形绕x轴旋转一
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已知曲线C:y=x3-3x2,直线l:y=-2x (1)求曲线C与直线l围成的区域的面积; (2)求曲线y=x3-3x2(0≤x≤1)与直线l围成的图形绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积. |
答案
(1)联立y=x3-3x2与y=-2x得:x=0,1或2. ∴曲线C与直线l有三个交点. y"=3x2-6x令y′=0得:x=0或x=2 ∵当x∈(-∞,0)∪(2,+∞)时, y′>0,当x∈(0,2)时,y"<0, ∴曲线C大致形状如图所示. ∴S=∫[x3-3x2-(-2x)]dx+∫(-2x-x3+3x2)dx= (2)由题意,旋转体的体积V=∫π[(-2x)2-(x3-3x2)2]dx=π
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举一反三
由曲线y2=x与直线y=-x所围成的封闭图形的面积是( ) |
过抛物线y=x2上一动点P(t,t2)(0<t<1)作此抛物线的切线l,抛物线y=x2与直线x=0、x=1及切线l围成的图形的面积为S,则S的最小值为( ) |
已知函数f(x)=x3-6x2+11x,其图象记为曲线C. (1)求曲线C在点A(3,f(3))处的切线方程l; (2)记曲线C与l的另一个交点为B(x2,f(x2)),线段AB与曲线C所围成的封闭图形的面积为S,求S的值. |
在曲线y=x2(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为.试求切点A的坐标及过切点A的切线方程.
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由直线y=x,y=-x+1,及x轴围成平面图形的面积为( )A.[(1-y)-y]dy | B.[(-x+1)-x]dx | C.[(1-y)-y]dy | D.x-[(-x+1)]dx |
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