过抛物线y=x2上一动点P(t,t2)(0<t<1)作此抛物线的切线l,抛物线y=x2与直线x=0、x=1及切线l围成的图形的面积为S,则S的最小值为( )A
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过抛物线y=x2上一动点P(t,t2)(0<t<1)作此抛物线的切线l,抛物线y=x2与直线x=0、x=1及切线l围成的图形的面积为S,则S的最小值为( )A
题型:不详
难度:
来源:
过抛物线y=x
2
上一动点P(t,t
2
)(0<t<1)作此抛物线的切线l,抛物线y=x
2
与直线x=0、x=1及切线l围成的图形的面积为S,则S的最小值为( )
A.
1
12
B.
1
10
C.
1
6
D.
1
4
答案
∵y=f(x)=x
2
,
∴f"(x)=2x,
即切线l在P处的斜率k=f"(t)=2t,
∴切线方程为y-t
2
=2t(x-t)=2tx-2t
2
,
即y-t
2
=2t(x-t)=2tx-2t
2
,
y=2tx-t
2
,
作出对应的图象,
则曲线围成的面积S=
∫
10
(
x
2
-2
tx+t
2
)dx=(
1
3
x
3
-t
x
2
+
t
2
x)
|
10
=
t
2
-t+
1
3
=
(t-
1
2
)
2
+
1
12
,
∵0<t<1,
∴当t=
1
2
时,面积取的最小值为
1
12
.
故选:A.
举一反三
已知函数f(x)=x
3
-6x
2
+11x,其图象记为曲线C.
(1)求曲线C在点A(3,f(3))处的切线方程l;
(2)记曲线C与l的另一个交点为B(x
2
,f(x
2
)),线段AB与曲线C所围成的封闭图形的面积为S,求S的值.
题型:不详
难度:
|
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在曲线y=x
2
(x≥0)上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围图形的面积为
1
12
.试求切点A的坐标及过切点A的切线方程.
题型:不详
难度:
|
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由直线y=x,y=-x+1,及x轴围成平面图形的面积为( )
A.
∫
10
[(1-y)-y]dy
B.
∫
1
2
0
[(-x+1)-x]dx
C.
∫
1
2
0
[(1-y)-y]dy
D.
∫
10
x-[(-x+1)]dx
题型:不详
难度:
|
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如图中阴影部分的面积是( )
A.
2
3
B.
9-2
3
C.
32
3
D.
35
3
题型:不详
难度:
|
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设f(x)=ax
2
+bx+c(a≠0),f′(x)=2x+2.且方程f(x)=0有两个相等的实根.
(1)求y=f(x)的表达式;
(2)求y=f(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积.
题型:不详
难度:
|
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