已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2=a2+c2-3ac，c=3b．（1）求角A；（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC的面积．

题型：不详难度：来源：

已知在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2=a2+c2-

3

ac，c=

3

b．
（1）求角A；
（2）若△ABC的外接圆半径为2，求△ABC的面积．

答案

（1）∵在△ABC中，b2=a2+c2-

3

ac．
∴cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

3

2

∵B∈（0，π），∴B=

π

6

…（3分）
∵c=

3

b，∴根据正弦定理，得sinC=

3

sinB=

3

sin

π

6

=

3

2

∵C∈（0，π），∴C=

π

3

或C=

2π

3

…（6分）
当C=

π

3

时，A=π-B-C=

π

2

；当C=

2π

3

时，A=π-B-C=

π

6

综上所述，A=

π

2

或

π

6

…（8分）
（2）∵

b

sinB

=

c

sinC

=2R，∴b=2RsinB，c=2RsinC…（10分）
当A=

π

2

时，S△ABC=

1

2

bcsinA=2R2sinAsinBsinC=2

3

…（12分）
当A=

π

6

时，S△ABC=

1

2

bcsinA=2R2sinAsinBsinC=

3

综上所述：当A=

π

2

时，S△ABC=2

3

，当A=

π

6

时，S△ABC=

3

…（14分）