试题分析:假设角AMN的值为θ,由三角形AMN中角NAM为.由正弦定理可得到AM的表达式,在三角形AMP中利用余弦定理表示出AP的值,由角θ的取值范围,再根据三角函数的单调性知识即可得到结论.本小题用了五种解法分别从三角,坐标系,圆等方面入手. 解法一:设∠AMN=θ,在△AMN中,=. 因为MN=2,所以AM=sin(120°-θ). 2分 在△APM中,cos∠AMP=cos(60°+θ). 4分 AP2=AM2+MP2-2 AM·MP·cos∠AMP=sin2(120°-θ)+4-2×2×sin(120°θ)cos(60°+θ) 6分 =sin2(θ+60°)-sin(θ+60°)cos(θ+60°)+4 =[1-cos (2θ+120°)]-sin(2θ+120°)+4 =-[sin(2θ+120°)+cos (2θ+120°)]+ =-sin(2θ+150°),θ∈(0,120°). 10分 当且仅当2θ+150°=270°,即θ=60°时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2. 答:设计∠AMN为60°时,工厂产生的噪声对居民的影响最小. 12分
解法二(构造直角三角形): 设∠PMD=θ,在△PMD中, ∵PM=2,∴PD=2sinθ,MD=2cosθ. 2分 在△AMN中,∠ANM=∠PMD=θ,∴=, AM=sinθ,∴AD=sinθ+2cosθ,(θ≥时,结论也正确). 4分 AP2=AD2+PD2=(sinθ+2cosθ)2+(2sinθ)2 =sin2θ+sinθcosθ+4cos2θ+4sin2θ 6分 =·+sin2θ+4=sin2θ-cos2θ+ =+sin(2θ-),θ∈(0,). 10分 当且仅当2θ-=,即θ=时,AP2取得最大值12,即AP取得最大值2. 此时AM=AN=2,∠PAB=30° 12分 解法三:设AM=x,AN=y,∠AMN=α. 在△AMN中,因为MN=2,∠MAN=60°, 所以MN2=AM2+AN2-2 AM·AN·cos∠MAN, 即x2+y2-2xycos60°=x2+y2-xy=4. 2分 因为=,即=, 所以sinα=y,cosα===. 4分 cos∠AMP=cos(α+60°)=cosα-sinα=·-·y=. 6分 在△AMP中,AP2=AM2+PM2-2 AM·PM·cos∠AMP, 即AP2=x2+4-2×2×x×=x2+4-x(x-2y)=4+2xy. 10分 因为x2+y2-xy=4,4+xy=x2+y2≥2xy,即xy≤4. 所以AP2≤12,即AP≤2. 当且仅当x=y=2时,AP取得最大值2. 答:设计AM=AN=2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小. 12分 解法四(坐标法):以AB所在的直线为x轴,A为坐标原点,建立直角坐标系. 设M(x1,0),N(x2, x2),P(x0,y0).∵MN=2, ∴(x1-x2)2+3x22=4. 2分 MN的中点K(,x2). ∵△MNP为正三角形,且MN=2,∴PK=,PK⊥MN, ∴PK2=(x0-)2+(y0-x2)2=3, kMN·kPK=-1,即·=-1, 4分 ∴y0-x2= (x0-),∴(y0-x2)2= (x0-)2 ∴(1+)(x0-)2=3,即 (x0-)2=3,∴(x0-)2=x22. ∵x0->0 ∴x0-=x2, ∴x0=x1+2x2,∴y0=x1. 6分 ∴AP2=x02+y02=(2x2+x1)2+x12=x12+4x22+2x1x2 =4+4x1x2≤4+4×2=12, 10分 即AP≤2. 答:设计AM=AN=2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小. 12分
解法五(几何法):由运动的相对性,可使△PMN不动,点A在运动. 由于∠MAN=60°,∴点A在以MN为弦的一段圆弧(优弧)上, 4分 设圆弧所在的圆的圆心为F,半径为R, 由图形的几何性质知:AP的最大值为PF+R. 6分 在△AMN中,由正弦定理知:=2R, ∴R=, 8分 ∴FM=FN=R=,又PM=PN,∴PF是线段MN的垂直平分线. 设PF与MN交于E,则FE2=FM2-ME2=R2-12=. 即FE=,又PE=. 10 ∴PF=,∴AP的最大值为PF+R=2. 答:设计AM=AN=2 km时,工厂产生的噪声对居民的影响最小. 12分 |